Циклический модуль
В математике , точнее в теории колец , циклический модуль или моногенный модуль. [1] — модуль над кольцом , порождённый одним элементом. Эта концепция является обобщением понятия циклической группы , то есть абелевой группы (т.е. Z -модуля), порождённой одним элементом.
Определение [ править ]
Левый R -модуль M называется циклическим, если M может быть порожден одним элементом, т.е. M = ( x ) = Rx = { rx | r ∈ R } для некоторого x в M . Аналогично, правый R -модуль N является циклическим, если = yR для некоторого y ∈ N. N
Примеры [ править ]
- 2 Z как Z -модуль является циклическим модулем.
- Фактически каждая циклическая группа является циклическим Z -модулем.
- Каждый простой R -модуль M является циклическим модулем, поскольку подмодуль , порожденный любым ненулевым элементом x из M обязательно является целым модулем M. , В общем случае модуль является простым тогда и только тогда, когда он ненулевой и порождается каждым из своих ненулевых элементов. [2]
- Если кольцо R рассматривать как левый модуль над собой, то его циклические подмодули являются в точности его левыми главными идеалами как кольца. То же самое справедливо и для R как правого R -модуля, с соответствующими изменениями .
- Если R - это F [ x ], кольцо многочленов над полем F , а V - R -модуль, который также является конечномерным векторным пространством над F , то жордановые блоки x , действующие на V, являются циклическими подмодулями. (Все жордановы блоки изоморфны F [ − x ( x ) λ ] / н ; могут существовать и другие циклические подмодули с разными аннуляторами ; см. ниже.)
Свойства [ править ]
- циклического R -модуля M порожденного x существует канонический изоморфизм между M и R /Ann Rx , где Ann Rx обозначает аннулятор x в , , R. Для
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Бурбаки, Алгебра I: Главы 1–3 , с. 220
- ^ Андерсон и Фуллер 1992 , Сразу после предложения 2.7.
- Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Тексты для выпускников по математике , том. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi : 10.1007/978-1-4612-4418-9 , ISBN 0-387-97845-3 , МР 1245487
- Б. Хартли ; Т. О. Хоукс (1970). Кольца, модули и линейная алгебра . Чепмен и Холл. стр. 77 , 152. ISBN. 0-412-09810-5 .
- Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, стр. 147–149, ISBN 978-0-201-55540-0 , Збл 0848.13001