Полный набор инвариантов

В математике полный набор инвариантов задачи классификации представляет собой набор отображений.

$f_{i}:X\to Y_{i}$

(где $X$ это совокупность классифицируемых объектов с точностью до некоторого отношения эквивалентности $\sim$и $Y_{i}$ некоторые множества), такие, что $x\sim x'$ тогда и только тогда, когда $f_{i}(x)=f_{i}(x')$ для всех $i$. Другими словами, такие, что два объекта эквивалентны тогда и только тогда, когда все инварианты равны.

Символически полный набор инвариантов представляет собой набор отображений таких, что

$\left(\prod f_{i}\right):(X/\sim )\to \left(\prod Y_{i}\right)$

является инъективным .

Поскольку инварианты по определению равны для эквивалентных объектов, равенство инвариантов является необходимым условием эквивалентности; Полный набор инвариантов — это набор , равенство которых также достаточно для эквивалентности. В контексте группового действия это можно сформулировать так: инварианты являются функциями коинвариантов (классов эквивалентности, орбит), а полный набор инвариантов характеризует коинварианты (является набором определяющих уравнений для коинвариантов).

Примеры

• В классификации двумерных замкнутых многообразий эйлерова характеристика (или род ) и ориентируемость представляют собой полный набор инвариантов.
• Жордановая нормальная форма матрицы является полным инвариантом для матриц с точностью до сопряжения, а собственные значения (с кратностью) - нет.

Реализуемость инвариантов

Полный набор инвариантов не дает сразу классификационной теоремы : не все комбинации инвариантов могут быть реализованы. Символически необходимо также определить образ

$\prod f_{i}:X\to \prod Y_{i}.$