Делитель нуля

В абстрактной алгебре элемент если $a$ кольца такой , $R$ называется левым делителем нуля, существует ненулевой $x$ в $R$ что $ax = 0$ , ^[1] или, что то же самое, если отображение из $R$ в $R$ , которое переводит $x$ в $ax,$ не является инъективным . ^[а] Аналогично, элемент $a$ кольца называется правым делителем нуля, если существует ненулевой $y$ в $R$ такой, что $ya = 0$ . Это частный случай делимости в кольцах . Элемент, который является левым или правым делителем нуля, называется просто делителем нуля . ^[2] Элемент $a,$ который является одновременно левым и правым делителем нуля, называется двусторонним делителем нуля (ненулевой $x$ такой, что $ax = 0,$ может отличаться от ненулевого $y$ такого, что $ya = 0$ ). Если кольцо коммутативно , то левый и правый делители нуля одинаковы.

Элемент кольца, не являющийся левым делителем нуля (соответственно не правым делителем нуля), называется леворегулярным или левосократимым (соответственно, праворегулярным или правосократимым ).Элемент кольца, который сократим слева и справа и, следовательно, не является делителем нуля, называется регулярным или сократимым . ^[3] или делитель нуля . Делитель нуля, отличный от нуля, называется ненулевым делителем нуля или нетривиальным делителем нуля . Ненулевое кольцо , не имеющее нетривиальных делителей нуля, называется областью определения .

Примеры

На ринге $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$ , класс вычетов ${\overline {2}}$ является делителем нуля, так как ${\overline {2}}\times {\overline {2}}={\overline {4}}={\overline {0}}$ .
Единственный делитель нуля кольца $\mathbb {Z}$ целых чисел $0$ .
Нильпотентный . элемент ненулевого кольца всегда является двусторонним делителем нуля
Идемпотентный элемент $e\neq 1$ кольца всегда является двусторонним делителем нуля, так как $e(1-e)=0=(1-e)e$ .
Кольцо размера n × n матриц над полем имеет ненулевые делители нуля, если n примеры делителей нуля в кольце матриц размера 2 × 2 (над любым ненулевым кольцом): ≥ 2. Здесь показаны

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},$ ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

Прямое произведение двух или более ненулевых колец всегда имеет ненулевые делители нуля. Например, в $R_{1}\times R_{2}$ с каждым $R_{i}$ ненулевой, $(1,0)(0,1)=(0,0)$ , так $(1,0)$ является делителем нуля.
Позволять $K$ быть полем и $G$ быть группой . Предположим, что $G$ имеет элемент $g$ конечного порядка $n>1$ . Затем в групповом кольце $K[G]$ у одного есть $(1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n}=0$ , причем ни один из факторов не равен нулю, поэтому $1-g$ является ненулевым делителем нуля в $K[G]$ .

Односторонний делитель нуля

Рассмотрим кольцо (формальных) матриц ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ с $x,z\in \mathbb {Z}$ и $y\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ . Затем ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}}$ и ${\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}}$ . Если $x\neq 0\neq z$ , затем ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}$ является левым делителем нуля тогда и только тогда, когда $x$ четно как , так ${\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&x\\0&0\end{pmatrix}}$ , и он является правым делителем нуля тогда и только тогда, когда $z$ даже по тем же причинам. Если любой из $x,z$ является $0$ , то это двусторонний делитель нуля.
Вот еще один пример кольца, элемент которого является делителем нуля только с одной стороны. Позволять $S$ быть набором всех последовательностей целых чисел $(a_{1},a_{2},a_{3},...)$ . Возьмите на ринг все аддитивные карты из $S$ к $S$ , с поточечным сложением и композицией в качестве кольцевых операций. (То есть наше кольцо $\mathrm {End} (S)$ , кольцо эндоморфизмов аддитивной группы $S$ .) Три примера элементов этого кольца — сдвиг вправо $R(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(0,a_{1},a_{2},...)$ , левый сдвиг $L(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{2},a_{3},a_{4},...)$ , и карта проекции на первый фактор $P(a_{1},a_{2},a_{3},...)=(a_{1},0,0,...)$ . Все три этих аддитивных отображения не равны нулю, а составные $LP$ и $PR$ оба равны нулю, поэтому $L$ является левым делителем нуля и $R$ — правый делитель нуля в кольце аддитивных отображений из $S$ к $S$ . Однако, $L$ не является правым делителем нуля и $R$ не является левым делителем нуля: составной $LR$ это личность. $RL$ является двусторонним делителем нуля, поскольку $RLP=0=PRL$ , пока $LR=1$ находится не в каком направлении.

Непримеры

Кольцо целых чисел по модулю не простого числа имеет ненулевых делителей нуля. Поскольку каждый ненулевой элемент является единицей , это кольцо является конечным полем .
В более общем смысле, тело не имеет ненулевых делителей нуля.
Ненулевое коммутативное кольцо, единственный делитель нуля которого равен 0, называется областью целостности .

Характеристики

В кольце $матриц размера n$ × $n$ над полем левый и правый делители нуля совпадают; они в точности являются сингулярными матрицами . В кольце $матриц размера n$ × $n$ над областью целостности делителями нуля являются в точности матрицы с нулевым определителем .
Левые или правые делители нуля никогда не могут быть единицами , потому что если $a$ обратимо и $ax = 0$ для некоторого ненулевого $x$ , то $0 = a -1 0 = а -1 ax = x$ , противоречие.
Элемент упраздним на той стороне, на которой он правильный. То есть, если $a$ является левым регулярным, $из ax = ay$ следует, что $x = y$ , и аналогично для правого регулярного.

Ноль как делитель нуля

нет необходимости в отдельном соглашении $Для случая a = 0$ , поскольку определение применимо и в этом случае:

Если $R$ — кольцо, отличное от нулевого кольца , то $0$ — (двусторонний) делитель нуля, поскольку любой ненулевой элемент $x$ удовлетворяет условию $0 x = 0 = x 0$ .
Если $R$ — нулевое кольцо, в котором $0 = 1$ , то $0$ не является делителем нуля, потому что не существует ненулевого элемента, который при умножении на $0$ дает $0$ .

Некоторые ссылки по соглашению включают или исключают $0$ как делитель нуля во всех кольцах, но тогда им приходится вводить исключения в таких утверждениях, как следующие:

В коммутативном кольце $R$ множество неделителей нуля является множеством в $R.$ мультипликативным (Это, в свою очередь, важно для определения полного факторкольца .) То же самое верно для множества нелевых делителей нуля и множества неправых делителей нуля в произвольном кольце, коммутативном или нет.
В коммутативном нётеровом кольце $R$ множество делителей нуля представляет собой объединение ассоциированных идеалов кольца $R.$ простых

Делитель нуля в модуле

Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $M$ — $R$ - модуль и $a$ — элемент $R.$ кольца Говорят, что $а$ является $М$ -регулярным , если «умножение на $отображение$ » $M\,{\stackrel {a}{\to }}\,M$ инъективен, и что $a$ является делителем нуля на $M.$ в противном случае ^[4] Множество $M$ регулярных элементов является мультипликативным множеством в $R.$ - ^[4]

Специализация определений « $M$ -регулярный» и «делитель нуля на $M$ » для случая $M = R$ восстанавливает определения «регулярный» и «делитель нуля», данные ранее в этой статье.

См. также

Свойство нулевого продукта
Глоссарий коммутативной алгебры (точный делитель нуля)
Граф делителей нуля

Примечания

^ Поскольку отображение не инъективно, мы имеем $ax = ay$ , в котором $x$ отличается от $y$ , и, следовательно, $a (x - y) = 0$ .

Ссылки

^ Н. Бурбаки (1989), Алгебра I, главы 1–3 , Springer-Verlag, с. 98
^ Чарльз Лански (2005), «Концепции абстрактной алгебры» , Американская математическая общество, стр. 342
^ Николя Бурбаки (1998). Алгебра I. Springer Science+Business Media . п. 15.
^ Jump up to: ^а ^б Хидеюки Мацумура (1980), Коммутативная алгебра, 2-е издание , The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., стр. 12

Дальнейшее чтение

«Делитель нуля» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Michiel Hazewinkel ; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004), Algebras, rings and modules , vol. 1, Springer, ISBN 1-4020-2690-0
Вайсштейн, Эрик В. «Делитель нуля» . Математический мир .

[2] Поскольку отображение не инъективно, мы имеем $ax = ay$ , в котором $x$ отличается от $y$ , и, следовательно, $a (x - y) = 0$ .

[1] Н. Бурбаки (1989), Алгебра I, главы 1–3 , Springer-Verlag, с. 98

[3] Чарльз Лански (2005), «Концепции абстрактной алгебры» , Американская математическая общество, стр. 342

[4] Николя Бурбаки (1998). Алгебра I. Springer Science+Business Media . п. 15.

[Matsumura-p12-5] Jump up to: ^а ^б Хидеюки Мацумура (1980), Коммутативная алгебра, 2-е издание , The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., стр. 12

[1]

[а]

[2]

[3]

[4]