Аналитическое кручение

В математике кручение Райдемайстера (или R-кручение , или кручение Райдемайстера-Франца ) — топологический инвариант многообразий, введенный Куртом Райдемайстером ( Ридемейстер 1935 ) для 3-многообразий и обобщенный на более высокие измерения Вольфгангом Францем ( 1935 ) и Жоржем де Рамом. ( 1936 ). Аналитическое кручение (или кручение Рэя-Зингера ) — это инвариант римановых многообразий, определенных Дэниелом Б. Рэем и Исадором М. Сингером ( 1971 , 1973a , 1973b ) как аналитический аналог кручения Райдемайстера. Джефф Чигер ( 1977 , 1979 ) и Вернер Мюллер ( 1978 ) доказали гипотезу Рэя и Сингера о том, что кручение Райдемейстера и аналитическое кручение одинаковы для компактных римановых многообразий.

Кручение Райдемейстера было первым инвариантом в алгебраической топологии , который мог различать замкнутые многообразия, гомотопически эквивалентные , но не гомеоморфные , и, таким образом, его можно рассматривать как рождение геометрической топологии как отдельного поля. Его можно использовать для классификации пространств линз .

Кручение Райдемейстера тесно связано с кручением Уайтхеда ; см. ( Милнор, 1966 ). Это также дало важную мотивацию арифметической топологии ; см. ( Мазур ). Более поздние работы по кручению см. в книгах ( Тураев 2002 ) и (Николаеску 2002 , 2003 ).

аналитического

Если M — риманово многообразие, а E — расслоение над M , то существует оператор Лапласа, действующий на k -формы со значениями из E. векторное Если собственные значения k j -форм равны λ _, то дзета-функция ζ _k определяется как

$\zeta _{k}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}$

для большого s , и это распространяется на все комплексные s аналитическим продолжением .Дзета-регуляризованный определитель лапласиана, действующего на k -формы, равен

$\Delta _{k}=\exp(-\zeta _{k}^{\prime }(0))$

что формально является произведением положительных собственных значений лапласиана, действующего на k -формы.Аналитическое кручение T ( M , E ) определяется как

$T(M,E)=\exp \left(\sum _{k}(-1)^{k}k\zeta _{k}^{\prime }(0)/2\right)=\prod _{k}\Delta _{k}^{-(-1)^{k}k/2}.$

Определение

Позволять $X$ — конечный связный CW-комплекс с фундаментальной группой $\pi :=\pi _{1}(X)$и универсальный чехол ${\tilde {X}}$, и пусть $U$ быть ортогональным конечномерным $\pi$-представительство. Предположим, что

$H_{n}^{\pi }(X;U):=H_{n}(U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}}))=0$

для всех н. Если мы установим клеточную основу для $C_{*}({\tilde {X}})$ и ортогональный $\mathbf {R}$-основа для $U$, затем $D_{*}:=U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}})$ является сжимаемой конечной базируемой свободной $\mathbf {R}$-цепной комплекс. Позволять $\gamma _{*}:D_{*}\to D_{*+1}$ — любое цепное сжатие D _* , т.е. $d_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ d_{n}=id_{D_{n}}$ для всех $n$. Получаем изоморфизм $(d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}:D_{\text{odd}}\to D_{\text{even}}$ с $D_{\text{odd}}:=\oplus _{n\,odd}\,D_{n}$, $D_{\text{even}}:=\oplus _{n\,{\text{even}}}\,D_{n}$. Определим кручение Райдемейстера

$\rho (X;U):=|\det(A)|^{-1}\in \mathbf {R} ^{>0}$

где A — матрица $(d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}$ относительно данных оснований. Кручение Райдемейстера $\rho (X;U)$ не зависит от выбора клеточной основы для $C_{*}({\tilde {X}})$, ортогональный базис для $U$ и сокращение цепи $\gamma _{*}$.

Позволять $M$ — компактное гладкое многообразие, и пусть $\rho \colon \pi (M)\rightarrow GL(E)$ быть унимодулярным представлением. $M$ имеет гладкую триангуляцию. Для любого выбора объема $\mu \in \det H_{*}(M)$, мы получаем инвариант $\tau _{M}(\rho :\mu )\in \mathbf {R} ^{+}$. Затем мы называем положительное действительное число $\tau _{M}(\rho :\mu )$ кручение Райдемейстера многообразия $M$ относительно $\rho$ и $\mu$.

Краткая

Кручение Райдемейстера было впервые использовано для комбинаторной классификации трехмерных линзовых пространств в ( Reidemeister 1935 ) Райдемейстером и в многомерных пространствах Францем. Классификация включает примеры гомотопически эквивалентных 3-мерных многообразий, которые не являются гомеоморфными — в то время (1935) классификация была только с точностью до гомеоморфизма PL , но позже Э. Дж. Броуди ( 1960 ) показал, что на самом деле это была классификация с точностью до гомеоморфизма .

Дж. Х. Уайтхед определил «кручение» гомотопической эквивалентности между конечными комплексами. Это прямое обобщение концепции Райдемейстера, Франца и де Рама; но является более тонким инвариантом. Кручение Уайтхеда представляет собой ключевой инструмент для изучения комбинаторных или дифференцируемых многообразий с нетривиальной фундаментальной группой и тесно связано с концепцией «простого гомотопического типа», см. ( Милнор, 1966 ).

В 1960 году Милнор открыл соотношение двойственности инвариантов кручения многообразий и показал, что (скрученный) полином Александера узлов является кручением Райдемейстера своего дополнения к узлам в $S^{3}$. ( Милнор 1962 ) Для каждого q двойственность Пуанкаре $P_{o}$ вызывает

$P_{o}\colon \operatorname {det} (H_{q}(M)){\overset {\sim }{\,\longrightarrow \,}}(\operatorname {det} (H_{n-q}(M)))^{-1}$

и тогда мы получим

$\Delta (t)=\pm t^{n}\Delta (1/t).$

Центральную роль в них играет представление фундаментальной группы узлового дополнения. Это дает связь между теорией узлов и инвариантами кручения.

–

Позволять $(M,g)$ — ориентируемое компактное риманово многообразие размерности n и $\rho \colon \pi (M)\rightarrow \mathop {GL} (E)$ представительство фундаментальной группы $M$ в вещественном векторном пространстве размерности N. Тогда мы можем определить комплекс де Рама

$\Lambda ^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{n}$

и формальное дополнение $d_{p}$ и $\delta _{p}$ из-за плоскостности $E_{q}$. Как обычно, мы также получаем лапласиан Ходжа на p-формах

$\Delta _{p}=\delta _{p+1}d_{p}+d_{p-1}\delta _{p}.$

Предполагая, что $\partial M=0$тогда лапласиан является симметричным положительным полуположительным эллиптическим оператором с чисто точечным спектром

$0\leq \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \rightarrow \infty .$

Таким образом, как и раньше, мы можем определить дзета-функцию, связанную с лапласианом $\Delta _{q}$ на $\Lambda ^{q}(E)$ к

$\zeta _{q}(s;\rho )=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\text{Tr}}(e^{-t\Delta _{q}}-P_{q})dt,\ \ \ {\text{Re}}(s)>{\frac {n}{2}}$

где $P$ это проекция $L^{2}\Lambda (E)$ в пространство ядра ${\mathcal {H}}^{q}(E)$ лапласиана $\Delta _{q}$. Более того, было показано ( Сили, 1967 ), что $\zeta _{q}(s;\rho )$ продолжается до мероморфной функции $s\in \mathbf {C}$ который голоморфен в $s=0$.

Как и в случае ортогонального представления, определим аналитическое кручение $T_{M}(\rho ;E)$ к

$T_{M}(\rho ;E)=\exp {\biggl (}{\frac {1}{2}}\sum _{q=0}^{n}(-l)^{q}q{\frac {d}{ds}}\zeta _{q}(s;\rho ){\biggl |}_{s=0}{\biggr )}.$

В 1971 году Д.Б. Рэй и И.М. Сингер предположили, что $T_{M}(\rho ;E)=\tau _{M}(\rho ;\mu )$ для любого унитарного представления $\rho$. Эта гипотеза Рэя-Сингера в конечном итоге была независимо доказана Чигером ( 1977 , 1979 ) и Мюллером (1978) . Оба подхода сосредоточены на логарифме кручений и их следов. Для нечетномерных многообразий это проще, чем для четномерного случая, что сопряжено с дополнительными техническими трудностями. Эта теорема Чигера-Мюллера (о том, что два понятия кручения эквивалентны), наряду с теоремой Атьи-Патоди-Зингера , позже легла в основу теории возмущений Черна-Саймонса .

Доказательство теоремы Чигера-Мюллера для произвольных представлений было позже дано Дж. М. Бисмутом и Вейпином Чжаном. Их доказательство использует деформацию Виттена .

Ссылки

• Висмут, Ж.-М.; Чжан, В. (1994-03-01), «Метрики Милнора и Рэя-Сингера на эквивариантном определителе плоского векторного расслоения», Geometric & Functional Analysis , 4 (2): 136–212, doi : 10.1007/BF01895837 , ISSN   1420-8970 , S2CID   121327250
• Броуди, Э.Дж. (1960), «Топологическая классификация пространств линз», Annals of Mathematics , 2, 71 (1): 163–184, doi : 10.2307/1969884 , JSTOR   1969884 , MR   0116336
• Чигер, Джефф (1977), «Аналитическое кручение и кручение Райдемайстера», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 74 (7): 2651–2654, Бибкод : 1977PNAS...74.2651C , doi : 10.1073 /pnas.74.7.2651 , MR   0451312 , PMC   431228 , PMID   16592411
• Чигер, Джефф (1979), «Аналитическое кручение и уравнение теплопроводности», Annals of Mathematics , 2, 109 (2): 259–322, doi : 10.2307/1971113 , JSTOR   1971113 , MR   0528965
• Франц, Вольфганг (1935), «О кручении покрытия», Журнал чистой и прикладной математики , 1935 (173): 245–254, doi : 10.1515/crll.1935.173.245 , S2CID   125224119
• Милнор, Джон (1962), «Теорема двойственности для кручения Райдемейстера», Annals of Mathematics , 76 (1): 137–138, doi : 10.2307/1970268 , JSTOR   1970268
• Милнор, Джон (1966), «Кручение Уайтхеда», Бюллетень Американского математического общества , 72 (3): 358–426, doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11484-2 , MR   0196736
• Мищенко, Александр С. (2001) [1994], «Кручение Райдемейстера» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Мюллер, Вернер (1978), «Аналитическое кручение и R-кручение римановых многообразий», Успехи в математике , 28 (3): 233–305, doi : 10.1016/0001-8708(78)90116-0 , MR   0498252
• Николаеску, Ливиу И. (2002), Заметки о кручении Райдемейстера (PDF) Интернет-книга
• Николаеску, Ливиу И. (2003), Кручение Райдемейстера трехмерных многообразий , Исследования де Грюйтера по математике, том. 30, Берлин: Walter de Gruyter & Co., стр. xiv+249, doi : 10.1515/9783110198102 , ISBN.  3-11-017383-2 , г-н   : 1968575
• Рэй, Дэниел Б.; Сингер, Исадор М. (1973a), «Аналитическое кручение комплексных многообразий», Annals of Mathematics , 2, 98 (1): 154–177, doi : 10.2307/1970909 , JSTOR   1970909 , MR   0383463
• Рэй, Дэниел Б.; Сингер, Исадор М. (1973b), «Аналитическое кручение», Уравнения в частных производных , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XXIII, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 167–181, МР   0339293.
• Рэй, Дэниел Б.; Сингер, Исадор М. (1971), « R -кручение и лапласиан на римановых многообразиях», « Достижения в области математики » , 7 (2): 145–210, doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4 , MR   0295381
• Райдемайстер, Курт (1935), «Гомотопические кольца и линзовые пространства», Кафедра математики Univ. Гамбург , 11 : 102–109, номер doi : 10.1007/BF02940717 , S2CID   124078064
• де Рам, Жорж (1936), «О новых топологических инвариантах М. Райдемейстера», Recueil Mathématique (Математический сборник) , Nouvelle Série, 1 (5): 737–742, Zbl   0016.04501
• Тураев, Владимир (2002), Кручения трехмерных многообразий , Прогресс в математике, том. 208, Базель: Birkhäuser Verlag, стр. x+196, doi : 10.1007/978-3-0348-7999-6 , ISBN  3-7643-6911-6 , г-н   : 1958479
• Мазур, Барри . «Замечания о полиноме Александера» (PDF) .
• Сили, RT (1967), «Комплексные степени эллиптического оператора», в Кальдероне, Альберто П. (ред.), Сингулярные интегралы (Proc. Sympos. Pure Math., Чикаго, Иллинойс, 1966) , Труды симпозиумов в Чистая математика, вып. 10, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 288–307, ISBN.  978-0-8218-1410-9 , МР   0237943