Регулярность Кастельнуово – Мамфорда

В алгебраической геометрии регулярность Кастельнуово –Мамфорда когерентного пучка F над проективным пространством. $\mathbf {P} ^{n}$ — наименьшее целое число r такое, что оно является r-регулярным , что означает, что

$H^{i}(\mathbf {P} ^{n},F(r-i))=0$

в любое время $i>0$. Регулярность подсхемы определяется как регулярность ее пучка идеалов. Регулярность контролирует, когда функция Гильберта пучка становится полиномом; точнее тусклый $H^{0}(\mathbf {P} ^{n},F(m))$ является многочленом от m, когда m не менее регулярности. Понятие r -регулярности было введено Дэвидом Мамфордом ( 1966 ) следующие результаты , лекция 14), который приписал Гвидо Кастельнуово ( 1893 :

• -регулярный пучок r является s -регулярным для любого $s\geq r$.
• Если когерентный пучок r -регулярен, то $F(r)$ генерируется его глобальными разделами .

Градуированные модули

Близкая идея существует в коммутативной алгебре . Предполагать $R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ — кольцо многочленов над полем k и M — конечно порожденный градуированный R -модуль . Предположим, что M имеет минимальную градуированную свободную резолюцию

$\cdots \rightarrow F_{j}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0$

и пусть $b_{j}$ — максимальная из степеней образующих $F_{j}$. Если r — целое число такое, что $b_{j}-j\leq r$ для всех j тогда M называется r -регулярным. Регулярность M есть наименьшее такое r .

Эти два понятия регулярности совпадают, когда F — когерентный пучок такой, что $\operatorname {Ass} (F)$ не содержит замкнутых точек. Тогда градуированный модуль

$M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }H^{0}(\mathbf {P} ^{n},F(d))$

конечно порожден и имеет ту же регулярность, что и F .

См. также

• Схема Гильберта
• Схема котировок

Ссылки

• Кастельнуово, Гвидо (1893), «О кратных линейной серии групп точек, принадлежащих алгебраической кривой» , Ред. Цирк. Мэтт. Палермо , 7 :89–110, номер документа : 10.1007/BF03012436 , JFM   25.1035.02 .
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-0-387-94269-8 , МР   1322960
• Эйзенбуд, Дэвид (2005), Геометрия сизигий , Тексты для выпускников по математике, том. 229, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b137572 , ISBN  978-0-387-22215-8 , МР   2103875
• Мамфорд, Дэвид (1966), Лекции по кривым на алгебраической поверхности , Анналы математических исследований, том. 59, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-07993-6 , МР   0209285