Теорема о формальных функциях

В алгебраической геометрии теорема о формальных функциях гласит следующее: ^[1]

Позволять

f:X\to S

— собственный морфизм нётеровых схем с когерентным пучком

{\mathcal {F}}

на Х. Позволять

S_{0}

быть замкнутой подсхемой S, определяемой формулой

{\mathcal {I}}

и

{\widehat {X}},{\widehat {S}}

формальное завершение в отношении

X_{0}=f^{-1}(S_{0})

и

S_{0}

. Тогда для каждого

p\geq 0

каноническая (непрерывная) карта:

(R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to \varprojlim _{k}R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}_{k}

является изоморфизмом (топологического)

{\mathcal {O}}_{\widehat {S}}

-модули, где

Левый термин $\varprojlim R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}{\mathcal {O}}_{S}/{{\mathcal {I}}^{k+1}}$ .
${\mathcal {F}}_{k}={\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{S}/{\mathcal {I}}^{k+1})$
Каноническое отображение — это отображение, полученное предельным переходом.

Теорема используется для вывода некоторых других важных теорем: факторизации Штейна и версии основной теоремы Зариского , которая гласит, что собственный бирациональный морфизм в нормальное многообразие является изоморфизмом. Некоторые другие следствия (с указанными выше обозначениями):

Следствие : ^[2] Для любого $s\in S$ топологически,

((R^{p}f_{*}{\mathcal {F}})_{s})^{\wedge }\simeq \varprojlim H^{p}(f^{-1}(s),{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}({\mathcal {O}}_{s}/{\mathfrak {m}}_{s}^{k}))

где пополнение слева относится к ${\mathfrak {m}}_{s}$ .

Следствие : ^[3] Пусть r таково, что $\operatorname {dim} f^{-1}(s)\leq r$ для всех $s\in S$ . Затем

R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}=0,\quad i>r.

Следствие : ^[4] Для каждого $s\in S$ , существует открытая окрестность U точки s такая, что

R^{i}f_{*}{\mathcal {F}}|_{U}=0,\quad i>\operatorname {dim} f^{-1}(s).

Следствие : ^[5] Если $f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{S}$ , затем $f^{-1}(s)$ подключен для всех $s\in S$ .

Теорема также приводит к теореме существования Гротендика , которая дает эквивалентность между категорией когерентных пучков на схеме и категорией когерентных пучков при ее формальном завершении (в частности, это дает алгебрализуемость.)

Наконец, можно ослабить условие теоремы; ср. Иллюзия. Согласно Illusie (стр. 204), доказательство, данное в EGA III, принадлежит Серру. Оригинальное доказательство (принадлежащее Гротендику) так и не было опубликовано.

Построение канонической карты [ править ]

Пусть настройка будет как в леде. В доказательстве используется следующее альтернативное определение канонического отображения.

Позволять $i':{\widehat {X}}\to X,i:{\widehat {S}}\to S$ быть каноническими картами. Тогда у нас есть изменений базовая карта ${\mathcal {O}}_{\widehat {S}}$ -модули

i^{*}R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}(i'^{*}{\mathcal {F}})

.

где ${\widehat {f}}:{\widehat {X}}\to {\widehat {S}}$ индуцируется $f:X\to S$ . С ${\mathcal {F}}$ когерентна, мы можем идентифицировать $i'^{*}{\mathcal {F}}$ с ${\widehat {\mathcal {F}}}$ . С $R^{q}f_{*}{\mathcal {F}}$ также когерентен (поскольку f является правильным), выполняя ту же идентификацию, приведенное выше гласит:

(R^{q}f_{*}{\mathcal {F}})^{\wedge }\to R^{p}{\widehat {f}}_{*}{\widehat {\mathcal {F}}}

.

С использованием $f:X_{n}\to S_{n}$ где $X_{n}=(X_{0},{\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {J}}^{n+1})$ и $S_{n}=(S_{0},{\mathcal {O}}_{S}/{\mathcal {I}}^{n+1})$ , также получаем (после перехода к пределу):