Формальная схема

В математике , особенно в алгебраической геометрии , формальная схема — это тип пространства, включающий данные о его окружении. В отличие от обычной схемы , формальная схема включает в себя бесконечно малые данные, которые, по сути, указывают направление от схемы. По этой причине формальные схемы часто появляются в таких темах, как теория деформации . Но эта концепция также используется для доказательства такой теоремы, как теорема о формальных функциях , которая используется для вывода теорем, представляющих интерес для обычных схем.

Локально нётерова схема — это локально нётерова формальная схема в каноническом смысле: формальное пополнение вдоль самой себя. Другими словами, категория локально нётеровых формальных схем содержит все локально нётеровы схемы.

Зарисского Формальные схемы были мотивированы и обобщают теорию формальных голоморфных функций .

Алгебраическая геометрия, основанная на формальных схемах, называется формальной алгебраической геометрией .

Определение

Формальные схемы обычно определяются только в нетеровом случае. Хотя существовало несколько определений ненетеровских формальных схем, они сталкиваются с техническими проблемами. Следовательно, мы будем определять только локально нетеровы формальные схемы.

Все кольца будут считаться коммутативными и с единицей . Пусть A — (нётерово) топологическое кольцо , то есть кольцо A, являющееся топологическим пространством , в котором операции сложения и умножения непрерывны. А если линейно топологизировано, нуль имеет базу , состоящую из идеалов . Идеал определения ${\mathcal {J}}$ для линейно топологизированного кольца — это открытый идеал такой, что для каждой открытой окрестности V точки 0 существует целое положительное число n такое, что ${\mathcal {J}}^{n}\subseteq V$ . Линейно топологизированное кольцо преддопустимо, если оно допускает идеал определения, и допустимо , если оно также полно . (По терминологии Бурбаки , это «полное и обособленное».)

Предположим, что A допустимо, и пусть ${\mathcal {J}}$ быть идеалом определения. Простой идеал открыт тогда и только тогда, когда он содержит ${\mathcal {J}}$ . Множество открытых простых идеалов A или, что то же самое, множество простых идеалов A . $A/{\mathcal {J}}$ , является основным топологическим пространством формального спектра A , обозначаемым Spf A . Spf A имеет структурный пучок , который определяется с помощью структурного пучка спектра кольца . Позволять ${\mathcal {J}}_{\lambda }$ — базис окрестности нуля, состоящий из идеалов определения. Все спектры $A/{\mathcal {J}}_{\lambda }$ имеют одно и то же топологическое пространство, но другой структурный пучок. Структурный пучок Spf A является проективным пределом $\varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ .

Можно показать, что если f ∈ A и D _f — множество всех открытых простых идеалов A , не содержащих f , то ${\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}$ , где ${\widehat {A_{f}}}$ — завершение локализации A _f .

Наконец, локально нётерова формальная схема представляет собой топологически окольцованное пространство. $({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ (то есть окольцованное пространство , пучок колец которого является пучком топологических колец) такое, что каждая точка ${\mathfrak {X}}$ допускает открытую окрестность, изоморфную (как топологически окольцованные пространства) формальному спектру нётерова кольца.

Морфизмы между формальными схемами

Морфизм $f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}$ локально нётеровых формальных схем является их морфизмом как локально окольцованных пространств такой, что индуцированное отображение $f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})$ является непрерывным гомоморфизмом топологических колец для любого аффинного открытого подмножества U .

f называется адическим или ${\mathfrak {X}}$ это ${\mathfrak {Y}}$ -адическая формальная схема, если существует идеал определения ${\mathcal {I}}$ такой, что $f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}$ является идеалом определения ${\mathfrak {X}}$ . Если f адический, то это свойство справедливо для любого идеала определения.

Примеры

Для любого идеала I и кольца A мы можем определить I-адическую топологию на A , определяемую его базисом, состоящим из множеств вида a+I. ^н. Это преддопустимо и допустимо, если А -адически полно I . В этом случае Spf A — топологическое пространство Spec A/I с пучком колец ${\text{lim}}_{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}$ вместо ${\widetilde {A/I}}$ .

A=k[[t]] и I=(t) . Тогда A/I=k , так что пространство Spf A представляет собой единственную точку (t) , в которой его структурный пучок принимает значение k[[t]] . Сравните это со Spec A/I , чей структурный пучок в этот момент принимает значение k : это пример идеи о том, что A является «формальным утолщением» A вокруг I. Spf
Формальное завершение закрытой подсхемы. Рассмотрим замкнутую подсхему X аффинной плоскости над k , заданную идеалом I=(y ²-х ³) . Обратите внимание, что A ₀ =k[x,y] не является I -адически полным; напишите A для его I -адического завершения. В этом случае Spf A=X как пространства и его структурный пучок $\lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}$ . Его глобальные разделы — A , в отличие от X , глобальные разделы которого — A/I .

См. также

Ссылки

Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
Ясуда, Т. (2009). «Неадические формальные схемы». Уведомления о международных математических исследованиях . arXiv : 0711.0434 . дои : 10.1093/imrn/rnp021 .
Маккуиллан, Майкл (2002). «Формально-формальные схемы». Топология и геометрия: в память о SISTAG . Современная математика. Том. 314. стр. 187–198. дои : 10.1090/conm/314/05431 . ISBN 9780821828205 .

Внешние ссылки

формальное завершение