Факторизация Штейна

В алгебраической геометрии факторизация Штейна , введенная Карлом Штейном ( 1956 ) для случая комплексных пространств, утверждает, что собственный морфизм может быть факторизован как композиция конечного отображения и собственного морфизма со связными слоями. Грубо говоря, факторизация Штейна сжимает компоненты связности слоев отображения в точки.

Заявление [ править ]

В одной версии схем указано следующее: ( EGA , III.4.3.1)

Пусть X — схема , S — локально нётерова схема и $f:X\to S$ морфизм правильный . Тогда можно написать

$f=g\circ f'$

где $g\colon S'\to S$ является конечным морфизмом и $f'\colon X\to S'$ является собственным морфизмом, так что $f'_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{S'}.$

Само существование этого разложения не представляет труда. См. ниже. Но по теореме Зариского о связности последняя часть вышесказанного говорит, что слой $f'^{-1}(s)$ подключается к любому $s\in S'$ . Следует:

Следствие : для любого $s\in S$ , множество компонент связности волокна $f^{-1}(s)$ находится в биекции с множеством точек слоя $g^{-1}(s)$ .

Доказательство [ править ]

Набор:

S'=\operatorname {Spec} _{S}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}

где Spec _S — относительная Spec . Конструкция дает естественную карту $g\colon S'\to S$ , что конечно, так как ${\mathcal {O}}_{X}$ когерентно и f собственное. Морфизм f пропускается через g , и получается $f'\colon X\to S'$ , что правильно. По конструкции, $f'_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{S'}$ . Затем можно использовать теорему о формальных функциях , чтобы показать, что из последнего равенства следует $f'$ имеет соединительные волокна. (Эту часть иногда называют теоремой о связности Зариского.)

См. также [ править ]

Морфизм сокращения

Ссылки [ править ]

Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологическое исследование когерентных пучков, Часть первая» . Публикации IHÉS по математике . 11 . дои : 10.1007/bf02684274 . МР 0217085 .
Штейн, Карл (1956), «Аналитические разложения комплексных пространств», Mathematical Annals , 132 : 63–93, doi : 10.1007/BF01343331 , ISSN 0025-5831 , MR 0083045