D -модуль

В математике — D -модуль это модуль над кольцом D дифференциальных операторов . Основной интерес такие D -модули представляют как подход к теории линейных уравнений в частных производных . Примерно с 1970 года теория D -модулей создавалась, главным образом, как ответ на идеи Микио Сато об алгебраическом анализе и развитие работ Сато и Джозефа Бернштейна по полиному Бернштейна-Сато .

Ранними важными результатами были теорема о конструктивности Касивары и теорема Масаки Кашивары об индексе Касивары . Методы теории D -модулей всегда черпались из теории пучков и других методов, вдохновленных работами Александра Гротендика по алгебраической геометрии . Подход носит глобальный характер и отличается от методов функционального анализа , традиционно используемых для изучения дифференциальных операторов. Наиболее сильные результаты получены для переопределенных систем ( голономные системы ), а также на характеристическом многообразии, вырезанном символами , которое в хорошем случае является лагранжевым подмногообразием кокасательного расслоения максимальной размерности ( инволютивные системы ). Техники были переняты со стороны школы Гротендика Зогманом Мебхаутом , который получил общую, производную категориальную версию соответствия Римана-Гильберта во всех измерениях.

Введение: модули над алгеброй Вейля [ править ]

Первый случай алгебраических D это модули над алгеброй Вейля An _{-модулей —} ( K ) над полем K характеристики нулевой . Это алгебра, состоящая из многочленов от следующих переменных

Икс ₁ , ..., Икс _п , ∂ ₁ , ..., ∂ _п .

где переменные x _i и ∂ _j коммутируют друг с другом по отдельности, а x _i и ∂ _j коммутируют при i ≠ j , но коммутатор удовлетворяет соотношению

[∂ _я , Икс _я ] знак равно ∂ _я Икс _я - Икс _я ∂ _я знак равно 1.

Для любого полинома f ( x ₁ , ..., x _n ) отсюда следует соотношение

[∂ _я , ж ] знак равно ∂ ж / ∂ Икс _я ,

тем самым связав алгебру Вейля с дифференциальными уравнениями.

(Алгебраический) D определению есть левый модуль над кольцом An ₍ K -модуль по ). Примеры D -модулей включают саму алгебру Вейля (действующую на себя умножением слева), (коммутативное) кольцо полиномов K [ x ₁ , ..., x _n ], где x _i действует умножением, а ∂ _j действует частичным дифференцирование по x _j и, аналогично, кольцо ${\mathcal {O}}(\mathbf {C} ^{n})$ голоморфных функций на C ^н (функции n комплексных переменных.)

Для некоторого дифференциального оператора P = a _n ( x ) ∂ ^н + ... + а ₁ ( Икс ) ∂ ¹ + a ₀ ( x ), где x - комплексная переменная, a _i ( x ) - многочлены, фактор-модуль M = A ₁ ( C )/ A ₁ ( C ) P тесно связан с пространством решений дифференциального уравнения

П ж = 0,

где f - скажем, некоторая голоморфная функция в C . Векторное пространство, состоящее из решений этого уравнения, задается пространством гомоморфизмов D -модулей $\mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))$ .

D -модули на алгебраических многообразиях [ править ]

Общая теория D -модулей развивается на гладком алгебраическом многообразии X, определенном над алгебраически замкнутым полем K нулевой характеристики, например K = C . Пучок -алгебра , дифференциальных операторов D _X определяется как O _X порожденная векторными полями на X , интерпретируемыми как дифференцирования . A (левый) D _X -модуль M — это O _X -модуль с левым действием на D _X. него Выполнение такого действия эквивалентно указанию K -линейного отображения.

\nabla :D_{X}\rightarrow \operatorname {End} _{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}

удовлетворяющий

\nabla _{fv}(m)=f\,\nabla _{v}(m)

\nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)

( правило Лейбница )

\nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)

Здесь f — регулярная функция на X , v и w — векторные поля, m — локальное сечение M , [−, −] обозначает коммутатор . Поэтому, если M является, кроме того, локально свободным O _X -модулем, то придание M структуры D -модуля есть не что иное, как оснащение векторного расслоения ассоциированного с M плоской (или интегрируемой) связностью .

Поскольку кольцо D _X некоммутативно, левые и правые D следует различать -модули. Однако эти два понятия можно поменять местами, поскольку существует эквивалентность категорий между обоими типами модулей, определяемая отображением левого модуля M в тензорное произведение M ⊗ Ω _X , где Ω _X — линейное расслоение , заданное высшим внешним элементом мощность дифференциальных 1-форм на X . Этот расслоение имеет естественное правое действие, определяемое

ω ⋅ v := − Ли _v (ω),

где v — дифференциальный оператор первого порядка, то есть векторное поле, ω — n- форма ( n = dim X ), а Lie обозначает производную Ли .

Локально, после выбора некоторой системы координат x ₁ ..., x _n ( n = dim X ) на X , определяющей базис ∂ ₁ , ..., ∂ _n касательного пространства X , , сечения D _X могут быть однозначно представлены в виде выражений

\sum f_{i_{1},\dots ,i_{n}}\partial _{1}^{i_{1}}\cdots \partial _{n}^{i_{n}}

, где

f_{i_{1},\dots ,i_{n}}

являются регулярными функциями на X .

В частности, когда X — n -мерное аффинное пространство , это D _X — алгебра Вейля от n переменных.

Многие основные свойства D -модулей локальны и параллельны ситуации когерентных пучков . Это основано на том, что D _X является локально свободным пучком O O _X -модулей, хотя и бесконечного ранга, как показывает упомянутый выше X _-базис . свободен ( _{конечного} ранга ) _. Можно показать, что D X -модуль, когерентный как O X -модуль, обязательно локально

Функциональность [ править ]

D -модули на разных алгебраических многообразиях связаны функторами обратного и прямого движения, сравнимыми с функторами для когерентных пучков. Для отображения f : X → Y гладких многообразий определения следующие:

D _{X → Y} := O _X ⊗ _{f ⁻¹( О _Й )} е ⁻¹( Д _Д )

Он оснащен левым действием D _X , имитирующим правило цепочки , и естественным правым действием f. ⁻¹( Д _Й ). Откат определяется как

ж ^∗( M ) знак равно D _{Икс → Y} ⊗ _{ж ⁻¹( Д _Д )} е ⁻¹( М ).

Здесь M — левый D _Y его образ — левый модуль над X. -модуль, а Этот функтор точен справа , его левый производный функтор обозначается L f ^∗. , для правого D _X -модуля N Обратно

ж _* ( N ) знак равно ж _* ( N ⊗ _{D _Икс} D _{Икс → Y} )

является правым D _Y -модулем. Поскольку это смешивает правое точное тензорное произведение с левым точным тензорным произведением, вместо этого обычно устанавливают

ж _* ( N ):= р ж _* ( N ⊗ ^л_{D _X} D _{X → Y}).

Из-за этого большая часть теории D -модулей разрабатывается с использованием всех возможностей гомологической алгебры , в частности производных категорий .

Голономные модули [ править ]

Голономные модули над алгеброй Вейля [ править ]

Можно показать, что алгебра Вейля является (слева и справа) нетеровым кольцом . Более того, оно просто , то есть его единственными двусторонними идеалами являются нулевой идеал и все кольцо. Эти свойства делают исследование D -модулей осуществимым. Примечательно, что стандартные понятия коммутативной алгебры, такие как полином Гильберта , кратность и длина модулей, переносятся и на D -модули. Точнее, D _X оснащен фильтрацией Бернштейна , то есть фильтрацией такой , что F ^пAn _K ( ) состоит из K -линейных комбинаций дифференциальных операторов x ^а∂ ^бс | α | + | β | ≤ p (с использованием мультииндексной записи ). Видно, что ассоциированное градуированное кольцо изоморфно кольцу многочленов от 2 n неопределенных значений. В частности, оно коммутативно.

Конечно порожденные D -модули M наделены так называемыми «хорошими» фильтрациями F ^∗M , которые совместимы с F ^∗An _{), по сути ,} ( K параллельно ситуации леммы Артина–Риса . Полином Гильберта определяется как числовой полином , который согласуется с функцией

п ↦ dim _K F ^нМ

для большого n . Размерность d ( M ) An ( _K ) -модуля M определяется как степень многочлена Гильберта. Он ограничен неравенством Бернштейна

п ≤ d ( M ) ≤ 2 п .

Модуль, размерность которого достигает наименьшего возможного значения n , называется голономным .

M A ₁ ( K )-модуль = A 1 ₍ K ) / A ₁ ( K ) P (см. выше) голономен для любого ненулевого дифференциального оператора P , но аналогичное утверждение для многомерных алгебр Вейля не выполняется.

Общее определение [ править ]

Как упоминалось выше, модули над алгеброй Вейля соответствуют D -модулям в аффинном пространстве. Поскольку фильтрация Бернштейна недоступна на D _X для общих многообразий X , определение обобщается на произвольные аффинно гладкие многообразия X посредством порядковой фильтрации на D _X , определяемой порядком дифференциальных операторов . Соответствующее градуированное кольцо gr D _X задается регулярными функциями на кокасательном расслоении T ^∗ИКС .

Характеристическое многообразие определяется как подмногообразие кокасательного расслоения вырезанное радикалом аннулятора gr , M , где M снова снабжено подходящей фильтрацией (относительно порядковой фильтрации на D _X ). Как обычно, аффинная конструкция затем приклеивается к произвольным многообразиям.

Неравенство Бернштейна продолжает выполняться для любого (гладкого) многообразия X . В то время как верхняя оценка является непосредственным следствием приведенной выше интерпретации gr D _X в терминах кокасательного расслоения, нижняя оценка является более тонкой.

Свойства и характеристики [ править ]

Голономные модули имеют тенденцию вести себя как конечномерные векторные пространства. Например, их длина конечна. Кроме того, M голономно тогда и только тогда, когда все группы когомологий комплекса L i ^∗( M ) — конечномерные K -векторные пространства, где i — замкнутое погружение любой точки X .

Для любого D -модуля M двойственный модуль определяется формулой

\mathrm {D} (M):={\mathcal {R}}\operatorname {Hom} (M,D_{X})\otimes \Omega _{X}^{-1}[\dim X].

Голономные модули также можно охарактеризовать гомологическим условием: M голономно тогда и только тогда, когда D( M ) сконцентрировано (рассматривается как объект в производной категории D -модулей) в степени 0. Этот факт является первым проблеском Вердье. двойственность и соответствие Римана–Гильберта . Это доказывается путем распространения гомологического изучения регулярных колец (особенно того, что связано с глобальной гомологической размерностью ) на фильтрованное кольцо D _X .

Другая характеристика голономных модулей осуществляется через симплектическую геометрию . Характеристическое многообразие Ch( M ) любого D -модуля M рассматривается как подмногообразие кокасательного расслоения T ^∗X of X , инволютивное многообразие. Модуль голономен тогда и только тогда, когда Ch( M ) лагранжев .

Приложения [ править ]

Одним из первых применений голономных D- модулей был полином Бернштейна – Сато .

Kazhdan–Lusztig conjecture [ edit ]

Гипотеза Каждана –Люстига была доказана с использованием D -модулей.

- Переписка Гильберта Римана

Соответствие Римана –Гильберта устанавливает связь между некоторыми D -модулями и конструктивными пучками. Таким образом, это послужило мотивацией для введения извращенных пучков .

Теория геометрических представлений [ править ]

D -модули также применяются в теории геометрических представлений. Основным результатом в этой области является локализация Бейлинсона-Бернштейна . Он связывает D -модули на многообразиях флагов G / B с представлениями алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ редуктивной группы G . D -модули также играют решающую роль в формулировке геометрической программы Ленглендса .

Ссылки [ править ]

Бейлинсон А.А .; Бернштейн, Джозеф (1981), «Локализация g- модулей», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 292 (1): 15–18, ISSN 0249-6291 , MR 0610137
Бьорк, Ж.-Э. (1979), Кольца дифференциальных операторов , Математическая библиотека Северной Голландии, вып. 21, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-85292-2 МР 0549189
Брылинский, Жан-Люк; Кашивара, Масаки (1981), «Гипотеза Каждана-Люстига и голономные системы», Inventiones Mathematicae , 64 (3): 387–410, Бибкод : 1981InMat..64..387B , doi : 10.1007/BF01389272 , ISSN 0020-9910 , МР 0632980 , S2CID 18403883
Коутиньо, SC (1995), Учебник по алгебраическим D -модулям , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 33, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-55119-9 , МР 1356713
Борель, Арманд , изд. (1987), Алгебраические D-модули , Перспективы математики, вып. 2, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-117740-9
MGM van Doorn (2001) [1994], «D-модуль» , Энциклопедия математики , EMS Press
Хотта, Рёши; Такеучи, Киёси; Танисаки, Тошиюки (2008), D -модули, извращенные пучки и теория представлений (PDF) , Progress in Mathematics, vol. 236, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон, ISBN 978-0-8176-4363-8 , MR 2357361 , заархивировано из оригинала (PDF) 03 марта 2016 г. , получено 10 декабря 2009 г.

Внешние ссылки [ править ]

Бернштейн, Джозеф , Алгебраическая теория D -модулей (PDF)
Гайтсгори, Деннис, Лекции по геометрической теории представлений (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 26 марта 2015 г. , получено 14 декабря 2011 г.
Миличич, Драган, Лекции по алгебраической теории D -модулей