Мультииндексная запись

Мультииндексная нотация — это математическая нотация , которая упрощает формулы, используемые в исчислении с несколькими переменными , уравнениях в частных производных и теории распределений , путем обобщения концепции целочисленного индекса на упорядоченный кортеж индексов.

Определение и основные свойства

мультииндекс n -мерный – это ${\textstyle n}$- кортеж

$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$

неотрицательных целых чисел (т.е. элемента ${\textstyle n}$- размерный набор натуральных чисел , обозначаемый $\mathbb {N} _{0}^{n}$).

Для мультииндексов $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ и $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$, определяют:

Покомпонентная сумма и разность

$\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$

Частичный заказ

$\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}$

Сумма компонентов (абсолютное значение)

$|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$

Факториал

$\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$

Биномиальный коэффициент

${\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}$

Полиномиальный коэффициент

$${\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}$$ где $k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}$.

Власть

$x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$.

высшего порядка Частная производная

$$\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},$$ где $\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}$ (см. также 4-градиент ). Иногда обозначения $D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }$ также используется.

Некоторые приложения

Обозначение с несколькими индексами позволяет расширить многие формулы из элементарного исчисления на соответствующий случай с несколькими переменными. Ниже приведены некоторые примеры. Во всем дальнейшем, $x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}$ (или $\mathbb {R} ^{n}$), $\alpha ,\nu \in \mathbb {N} _{0}^{n}$, и $f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ (или $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$).

Полиномиальная теорема

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }$

Мультибиномиальная теорема

$$(x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.$$ Обратите внимание: поскольку x + y — вектор, а α — мультииндекс, выражение слева является сокращением от ( x ₁ + y ₁ ) ^{1 _​} ⋯( Икс _п + у _п ) ^{α _н} .

формула Лейбница

Для плавных функций ${\textstyle f}$ и ${\textstyle g}$, $$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}\,\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.$$

Серия Тейлора

Для аналитической функции ${\textstyle f}$ в ${\textstyle n}$ переменные, которые у человека есть $$f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.$$ Фактически, для достаточно гладкой функции мы имеем аналогичное разложение Тейлора $$f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),$$ где последний член (остаток) зависит от точной версии формулы Тейлора. Например, для формулы Коши (с целым остатком) получается $$R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.$$

Общий линейный оператор в частных производных

Формальная линейная ${\textstyle N}$Оператор частного дифференциала -го порядка в ${\textstyle n}$ переменные записываются как $$P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.$$

Интеграция по частям

Для гладких функций с компактным носителем в ограниченной области $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ у одного есть $$\int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.$$ Эта формула используется для определения распределений и слабых производных .

Пример теоремы

Если $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ являются мультииндексами и $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$, затем $$\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\text{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

Доказательство

Доказательство следует из степенного правила для обыкновенной производной ; если α и β находятся в ${\textstyle \{0,1,2,\ldots \}}$, затем

$${\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}$$ ( 1 )

Предполагать $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$, $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$, и $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$. Тогда у нас есть это $${\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}$$

Для каждого ${\textstyle i}$ в ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$, функция $x_{i}^{\beta _{i}}$ зависит только от $x_{i}$. Вышеупомянутое каждое частное дифференцирование $\partial /\partial x_{i}$ поэтому сводится к соответствующему обычному дифференцированию $d/dx_{i}$. Следовательно, из уравнения ( 1 ) следует, что $\partial ^{\alpha }x^{\beta }$ исчезает, если ${\textstyle \alpha _{i}>\beta _{i}}$ хотя бы для одного ${\textstyle i}$ в ${\textstyle \{1,\ldots ,n\}}$. Если это не так, т.е. ${\textstyle \alpha \leq \beta }$ как мультииндексы, то $${\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}$$для каждого $i$ и отсюда следует теорема. КЭД

См. также

• Обозначение Эйнштейна
• Обозначение индекса
• Фигурное исчисление

Ссылки

• Сен-Раймонд, Ксавье (1991). Элементарное введение в теорию псевдодифференциальных операторов . Глава 1.1. ЦРК Пресс. ISBN   0-8493-7158-9

Эта статья включает в себя материал из многоиндексной производной мощности на PlanetMath , которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .