Тензор напряженности глюонного поля

В теоретической физике элементарных частиц тензор напряженности глюонного поля второго порядка, представляет собой тензорное поле характеризующее глюонное взаимодействие между кварками .

Сильное взаимодействие является одним из фундаментальных взаимодействий природы, и квантовая теория поля (КТП), описывающая его, называется квантовой хромодинамикой (КХД). Кварки взаимодействуют друг с другом посредством сильной силы, обусловленной их цветовым зарядом , опосредованным глюонами. Сами глюоны обладают цветовым зарядом и могут взаимодействовать друг с другом.

Тензор напряженности глюонного поля представляет собой тензорное поле ранга 2 в пространстве-времени со значениями в присоединенном расслоении хромодинамической калибровочной группы SU (3) ( см. В векторном расслоении необходимые определения ).

Конвенция [ править ]

В этой статье латинские индексы (обычно $a, b, c, n$ ) принимают значения 1, 2,..., 8 для восьми цветовых зарядов глюонов , тогда как греческие индексы (обычно $α, β, μ, ν$ ) принимают значения 0. для времениподобных компонент и 1, 2, 3 для пространственноподобных компонент четырехвекторов и четырехмерных тензоров пространства-времени. Во всех уравнениях соглашение о суммировании используется для всех индексов цвета и тензора, если только в тексте явно не указано, что сумма не берется (например, «нет суммы»).

Определение [ править ]

Ниже определения (и большая часть обозначений) следуют К. Яги, Т. Хацуда, Ю. Миаке. ^[1] и Грейнер, Шефер. ^[2]

Тензорные компоненты [ править ]

Тензор обозначается $G$ (или $F$ , $F$ или какой-либо вариант) и имеет компоненты, определенные коммутатору кварковой пропорционально ковариантной производной $D μ$ : ^[2]^[3]

G_{\alpha \beta }=\pm {\frac {1}{ig_{\text{s}}}}[D_{\alpha },D_{\beta }]\,,

где:

D_{\mu }=\partial _{\mu }\pm ig_{\text{s}}t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}\,,

в котором

$я$ — мнимая единица ;
$g s$ – константа связи сильного взаимодействия;
$t a = λ a /2$ — матрицы Гелл-Мана $λ a,$ деленные на 2;
$a$ — индекс цвета в присоединенном представлении SU (3) , который принимает значения 1, 2, ..., 8 для восьми образующих группы, а именно матриц Гелл-Манна ;
$μ$ — индекс пространства-времени, 0 для времениподобных компонентов и 1, 2, 3 для пространственноподобных компонентов;
${\mathcal {A}}_{\mu }=t_{a}{\mathcal {A}}_{\mu }^{a}$ выражает глюонное поле , калибровочное поле со спином -1 или, на языке дифференциальной геометрии, связь SU(3) в главном расслоении ;
${\mathcal {A}}_{\mu }$ — это его четыре компонента (зависящие от системы координат), которые в фиксированной калибровке представляют собой 3 × 3 , а бесследовые эрмитовы матричные -значные функции размера ${\mathcal {A}}_{\mu }^{a}$ — это 32 вещественнозначные функции , четыре компонента для каждого из восьми четырехвекторных полей.

Разные авторы выбирают разные знаки.

Расширение коммутатора дает;

G_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }\pm ig_{\text{s}}[{\mathcal {A}}_{\alpha },{\mathcal {A}}_{\beta }]

Замена $t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}={\mathcal {A}}_{\alpha }$ и используя коммутационное соотношение $[t_{a},t_{b}]=if_{ab}{}^{c}t_{c}$ для матриц Гелл-Мана (с перемаркировкой индексов), в которых $f абв$ являются структурными константами SU(3), каждая из компонент напряженности глюонного поля может быть выражена как линейная комбинация матриц Гелл-Манна следующим образом:

{\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }t_{a}{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }t_{a}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm ig_{\text{s}}\left[t_{b},t_{c}\right]{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\\&=t_{a}\left(\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\pm i^{2}f_{bc}{}^{a}g_{\text{s}}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\right)\\&=t_{a}G_{\alpha \beta }^{a}\\\end{aligned}}\,,

так что: ^[4]^[5]

G_{\alpha \beta }^{a}=\partial _{\alpha }{\mathcal {A}}_{\beta }^{a}-\partial _{\beta }{\mathcal {A}}_{\alpha }^{a}\mp g_{\text{s}}f^{a}{}_{bc}{\mathcal {A}}_{\alpha }^{b}{\mathcal {A}}_{\beta }^{c}\,,

где снова $a, b, c = 1, 2,..., 8$ — индексы цвета. Как и в случае с глюонным полем, в конкретной системе координат и фиксированной калибровке $G αβ$ являются 3 × 3 бесследовыми эрмитовыми матрицами размера $, а G а αβ$ — вещественные функции, компоненты восьми четырехмерных тензорных полей второго порядка.

Дифференциальные формы [ править ]

Поле цвета глюонов можно описать с помощью языка дифференциальных форм , а именно как присоединенную 2-форму кривизны со значениями в расслоении (заметим, что слоями присоединенного расслоения являются su (3) алгебра Ли );

\mathbf {G} =\mathrm {d} {\boldsymbol {\mathcal {A}}}\mp g_{\text{s}}\,{\boldsymbol {\mathcal {A}}}\wedge {\boldsymbol {\mathcal {A}}}\,,

где ${\boldsymbol {\mathcal {A}}}$ — глюонное поле, векторная потенциальная 1-форма, соответствующая $G$ , а $\land$ — (антисимметричное) клиновое произведение этой алгебры, дающее структурные константы $f абв$ . Картановская -производная формы поля (т.е., по сути, дивергенция поля) была бы равна нулю в отсутствие «глюонных термов», т.е. ${\boldsymbol {\mathcal {A}}}$ которые представляют неабелев характер SU(3).

Более математически формальный вывод этих же идей (но в несколько измененной постановке) можно найти в статье о метрических связях .

Сравнение с электромагнитным тензором [ править ]

Это почти аналогично тензору электромагнитного поля (также обозначаемому $F$ ) в квантовой электродинамике , определяемому электромагнитным четырехпотенциалом $A$ со спином 1 , описывающим фотон ;

F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,,

или на языке дифференциальных форм:

\mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} \,.

Ключевое различие между квантовой электродинамикой и квантовой хромодинамикой заключается в том, что напряженность поля глюонов имеет дополнительные члены, которые приводят к самодействиям между глюонами и асимптотической свободе . Это усложнение сильного взаимодействия, делающее его по своей сути нелинейным , в отличие от линейной теории электромагнитного взаимодействия. КХД — неабелева калибровочная теория . Слово «неабелева» на теоретико-групповом языке означает, что групповая операция не является коммутативной , что делает соответствующую алгебру Ли нетривиальной.

плотность КХД Лагранжева

Характерная для теорий поля динамика напряженности поля суммируется подходящей плотностью Лагранжа , а подстановка в уравнение Эйлера-Лагранжа (для полей) дает уравнение движения поля . Плотность Лагранжа для безмассовых кварков, связанных глюонами, равна: ^[2]

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(G_{\alpha \beta }G^{\alpha \beta }\right)+{\bar {\psi }}\left(iD_{\mu }\right)\gamma ^{\mu }\psi

где «tr» след матрицы 3 × 3 G $G αβ обозначает аб$ , и $γ м$ представляют собой 4 × 4 гамма-матрицы . В фермионном термине $i{\bar {\psi }}\left(iD_{\mu }\right)\gamma ^{\mu }\psi$ , индексы цвета и спинора подавляются. С явными индексами $\psi _{i,\alpha }$ где $i=1,\ldots ,3$ являются индексами цвета и $\alpha =1,\ldots ,4$ — спинорные индексы Дирака.

Калибровочные преобразования [ править ]

В отличие от КЭД, тензор напряженности глюонного поля сам по себе не является калибровочно-инвариантным. Калибровочно-инвариантным является только произведение двух, сжатое по всем индексам.

Уравнения движения [ править ]

Рассматриваемые как классическая теория поля, уравнения движения для ^[1] кварковые поля:

(i\hbar \gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc)\psi =0

что похоже на уравнение Дирака , а уравнения движения глюонных (калибровочных) полей таковы:

\left[D_{\mu },G^{\mu \nu }\right]=g_{\text{s}}j^{\nu }

которые аналогичны уравнениям Максвелла (при записи в тензорной записи). Точнее, это уравнения Янга–Миллса для кварковых и глюонных полей. является Четырехток цветного заряда источником тензора напряженности глюонного поля, аналогично электромагнитному четырехтоку как источнику электромагнитного тензора. Это дано

j^{\nu }=t^{b}j_{b}^{\nu }\,,\quad j_{b}^{\nu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\nu }t^{b}\psi ,

что является сохраняющимся током, поскольку цветовой заряд сохраняется. Другими словами, цветовой четырехток должен удовлетворять уравнению непрерывности :

D_{\nu }j^{\nu }=0\,.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Яги, К.; Хацуда, Т.; Миаке, Ю. (2005). Кварк-глюонная плазма: от Большого взрыва к Малому взрыву . Кембриджские монографии по физике элементарных частиц, ядерной физике и космологии. Том. 23. Издательство Кембриджского университета. стр. 17–18. ISBN 978-0-521-561-082 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Грейнер, В.; Шефер, Г. (1994). «4» . Квантовая хромодинамика . Спрингер. ISBN 978-3-540-57103-2 .
^ Билсон-Томпсон, ЮАР; Лейнвебер, Д.Б.; Уильямс, AG (2003). «Сильно улучшенный тензор напряженности поля решетки». Анналы физики . 304 (1): 1–21. arXiv : hep-lat/0203008 . Бибкод : 2003АнФиз.304....1Б . дои : 10.1016/s0003-4916(03)00009-5 . S2CID 119385087 .
^ М. Эйдемюллер; Х.Г. Дош; М. Джамин (2000) [1999]. «Коррелятор напряженности поля из правил сумм КХД». Нукл. Физ. Б. Учеб. Доп . 86 (1–3). Гейдельберг, Германия: 421–425. arXiv : hep-ph/9908318 . Бибкод : 2000NuPhS..86..421E . дои : 10.1016/S0920-5632(00)00598-3 .
^ М. Шифман (2012). Продвинутые темы квантовой теории поля: курс лекций . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521190848 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Книги [ править ]

Х. Фрич (1982). Кварки: материал материи . Аллен переулок. ISBN 978-0-7139-15334 .
Б. Р. Мартин; Г. Шоу (2009). Физика частиц . Манчестерская серия по физике (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-03294-7 .
С. Саркар; Х. Сац; Б. Синха (2009). Физика кварк-глюонной плазмы: Вводные лекции . Спрингер. ISBN 978-3642022852 .
Дж. Тхань Ван Тран, изд. (1987). Адроны, кварки и глюоны: материалы адронной сессии двадцать второго собрания Мориона, Лез-Арк-Савойя-Франция . Атлантика Сегье Бордерс. ISBN 978-2863320488 .
Р. Алькофер; Х. Рейнхарт (1995). Динамика киральных кварков . Спрингер. ISBN 978-3540601371 .
К. Чунг (2008). Адронное рождение ψ (2S) сечения и поляризации . ISBN 978-0549597742 .
Дж. Коллинз (2011). Основы пертурбативной КХД . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521855334 .
ВНА Коттингем; ДАА Гринвуд (1998). Стандартная модель физики элементарных частиц . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521588324 .

Избранные статьи [ редактировать ]

Дж. П. Маа; К. Ван; ГП Чжан (2012). «КХД-эволюция нечетных операторов киральности твист-3». Буквы по физике Б. 718 (4–5): 1358–1363. arXiv : 1210.1006 . Бибкод : 2013PhLB..718.1358M . дои : 10.1016/j.physletb.2012.12.007 . S2CID 118575585 .
М. Д'Элиа, А. Ди Джакомо, Э. Меджиоларо (1997). «Корреляторы напряженности поля в полной КХД». Буквы по физике Б. 408 (1–4): 315–319. arXiv : hep-lat/9705032 . Бибкод : 1997PhLB..408..315D . дои : 10.1016/S0370-2693(97)00814-9 . S2CID 119533874 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
А. Ди Джакомо; М. Д'элия; Х. Панагопулос; Э. Меджиоларо (1998). «Калибровочно-инвариантные корреляторы напряженности поля в КХД». arXiv : hep-lat/9808056 .
М. Нойберт (1993). «Теорема вириала для кинетической энергии тяжелого кварка внутри адронов». Буквы по физике Б. 322 (4): 419–424. arXiv : hep-ph/9311232 . Бибкод : 1994PhLB..322..419N . дои : 10.1016/0370-2693(94)91174-6 . S2CID 14214029 .
М. Нойберт; Н. Брамбилла ; Х.Г. Дош; А. Вайро (1998). «Корреляторы напряженности поля и двойная эффективная динамика в КХД». Физический обзор D . 58 (3): 034010. arXiv : hep-ph/9802273 . Бибкод : 1998PhRvD..58c4010B . дои : 10.1103/PhysRevD.58.034010 . S2CID 1824834 .
М. Нойберт (1996). «Расчет по правилу сумм КХД кинетической энергии и хромовзаимодействия тяжелых кварков внутри мезонов» (PDF) . Буквы по физике Б.

Внешние ссылки [ править ]

К. Эллис (2005). «КХД» (PDF) . Фермилаб . Архивировано из оригинала 26 сентября 2006 года. {{cite news}}: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )
«Глава 2: Лагранжиан КХД» (PDF) . Технический университет Мюнхена . Проверено 17 октября 2013 г.

[Yagi,_Hatsuda,_Miake-1] Перейти обратно: ^а ^б Яги, К.; Хацуда, Т.; Миаке, Ю. (2005). Кварк-глюонная плазма: от Большого взрыва к Малому взрыву . Кембриджские монографии по физике элементарных частиц, ядерной физике и космологии. Том. 23. Издательство Кембриджского университета. стр. 17–18. ISBN 978-0-521-561-082 .

[Greiner,_Schäfer-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Грейнер, В.; Шефер, Г. (1994). «4» . Квантовая хромодинамика . Спрингер. ISBN 978-3-540-57103-2 .

[3] Билсон-Томпсон, ЮАР; Лейнвебер, Д.Б.; Уильямс, AG (2003). «Сильно улучшенный тензор напряженности поля решетки». Анналы физики . 304 (1): 1–21. arXiv : hep-lat/0203008 . Бибкод : 2003АнФиз.304....1Б . дои : 10.1016/s0003-4916(03)00009-5 . S2CID 119385087 .

[4] М. Эйдемюллер; Х.Г. Дош; М. Джамин (2000) [1999]. «Коррелятор напряженности поля из правил сумм КХД». Нукл. Физ. Б. Учеб. Доп . 86 (1–3). Гейдельберг, Германия: 421–425. arXiv : hep-ph/9908318 . Бибкод : 2000NuPhS..86..421E . дои : 10.1016/S0920-5632(00)00598-3 .

[5] М. Шифман (2012). Продвинутые темы квантовой теории поля: курс лекций . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521190848 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]