Калибровочная ковариантная производная

В физике калибровочная ковариантная производная — это средство выражения того, как поля изменяются от места к месту, таким образом, чтобы учитывать, как системы координат, используемые для описания физического явления, сами могут меняться от места к месту. Калибровочная ковариантная производная используется во многих областях физики, включая квантовую теорию поля и гидродинамику , а также, в особом смысле, общую теорию относительности .

Если физическая теория не зависит от выбора локальных систем отсчета, то меняется группа локальных систем, калибровочные преобразования действуют на поля в теории, оставляя неизменным физическое содержание теории. Обычное дифференцирование компонент поля не инвариантно относительно таких калибровочных преобразований, поскольку они зависят от локальной системы отсчёта. Однако когда калибровочные преобразования действуют одновременно на поля и калибровочную ковариантную производную, они сохраняют свойства теорий, которые не зависят от выбора системы отсчета и, следовательно, являются действительными описаниями физики. Как и ковариантная производная, используемая в общей теории относительности (что является частным случаем), калибровочная ковариантная производная представляет собой выражение связи в локальных координатах после выбора системы отсчета для задействованных полей, часто в форме индексной записи.

Обзор

Есть много способов понять калибровочную ковариантную производную. Подход, использованный в этой статье, основан на исторически традиционных обозначениях, используемых во многих учебниках физики. ^[1]^[2]^[3] Другой подход состоит в том, чтобы понимать калибровочную ковариантную производную как своего рода связь , а точнее, аффинную связь . ^[4]^[5]^[6] Аффинная связность интересна тем, что не требует какого-либо понятия метрического тензора определения ; кривизну напряженность аффинной связи можно понимать как поля калибровочного потенциала. Когда метрика доступна, можно пойти в другом направлении и определить соединение в пакете кадров . Этот путь ведет непосредственно к общей теории относительности; однако для этого требуется метрика, которой физики элементарных частиц в калибровочных теориях нет .

Аффинная и метрическая геометрия не являются обобщениями друг друга, а расходятся в разных направлениях: калибровочная группа ( псевдо ) римановой геометрии должна быть неопределенной ортогональной группой O(s,r) вообще или группой Лоренца O( 3,1) для пространства-времени . Это связано с тем, что слои расслоения фреймов должны обязательно, по определению, соединять касательное и кокасательное пространства пространства-времени. ^[7] Напротив, калибровочные группы, используемые в физике элементарных частиц, в принципе могут быть любой группой Ли , хотя на практике Стандартная модель использует только U(1) , SU(2) и SU(3) . Обратите внимание, что группы Ли не имеют метрики.

Еще более сложный, но более точный и геометрически поучительный подход состоит в том, чтобы понять, что калибровочная ковариантная производная — это (точно) то же самое, что и внешняя ковариантная производная на участке ассоциированного расслоения для главного расслоения калибровочной теории; ^[8] а в случае спиноров ассоциированный расслоение будет спиновым расслоением спиновой структуры . ^[9] Хотя концептуально этот подход один и тот же, он использует совершенно другой набор обозначений и требует гораздо более продвинутых знаний во многих областях дифференциальной геометрии .

Последним шагом в геометризации калибровочной инвариантности является признание того, что в квантовой теории нужно только сравнивать соседние слои главного расслоения и что сами слои предоставляют избыточное дополнительное описание. Это приводит к идее модификации калибровочной группы, чтобы получить калибровочный группоид как наиболее близкое описание калибровочной связи в квантовой теории поля. ^[6]^[10]

Для обычных алгебр Ли калибровочная ковариантная производная пространственных симметрий (псевдориманова многообразия и общей теории относительности) не может быть переплетена с внутренними калибровочными симметриями; то есть метрическая геометрия и аффинная геометрия обязательно являются разными математическими предметами: это содержание теоремы Коулмана-Мандулы . Однако предпосылка этой теоремы нарушается супералгебрами Ли (которые не являются алгебрами Ли!), что дает надежду на то, что одна единая симметрия может описывать как пространственную, так и внутреннюю симметрию: это основа суперсимметрии .

Более математический подход использует обозначения без индексов, подчеркивая геометрическую и алгебраическую структуру калибровочной теории и ее связь с алгебрами Ли и римановыми многообразиями ; например, рассматривая калибровочную ковариацию как эквивалентность слоев расслоения. Индексное обозначение, используемое в физике, делает его гораздо более удобным для практических расчетов, хотя и делает общую геометрическую структуру теории более непрозрачной. ^[7] Физический подход также имеет педагогическое преимущество: общую структуру калибровочной теории можно раскрыть после минимального опыта многомерного исчисления , тогда как геометрический подход требует больших затрат времени на изучение общей теории дифференциальной геометрии , римановых многообразий , алгебр Ли. , представления алгебр Ли и расслоений принципов, прежде чем можно будет разработать общее понимание. В более сложных обсуждениях оба обозначения обычно смешиваются.

В этой статье делается попытка более внимательно следовать обозначениям и языку, обычно используемым в учебной программе по физике, лишь кратко затрагивая более абстрактные связи.

Мотивация ковариантной производной посредством требования калибровочной ковариации

Рассмотрим общее (возможно, неабелевое) калибровочное преобразование, действующее на $n$ поле компонента $\phi =(\phi _{a})_{a=1..n}$ . Основные примеры теории поля имеют компактную калибровочную группу, и мы запишем оператор симметрии как $U(x)=e^{i\alpha (x)}$ где $\alpha (x)$ является элементом алгебры Ли, ассоциированным с группой Ли преобразований симметрии, и может быть выражен через эрмитовые генераторы алгебры Ли (т.е. с точностью до множителя $i$ , инфинитезимальные генераторы калибровочной группы), $\{t_{K}\}_{K\in {\mathcal {K}}}$ , как $\alpha (x)=\alpha ^{K}(x)t_{K}$ .

Он действует на поле $\phi (x)$ как

\phi (x)\rightarrow \phi '(x)=U(x)\phi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\phi (x),

\phi ^{\dagger }(x)\rightarrow \phi {'}^{\dagger }\equiv \phi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)=\phi ^{\dagger }(x)e^{-i\alpha (x)},\qquad U^{\dagger }=U^{-1}.

Теперь частная производная $\partial _{\mu }$ преобразуется, соответственно, как

\partial _{\mu }\phi (x)\rightarrow \partial _{\mu }\phi '(x)=U(x)\partial _{\mu }\phi (x)+(\partial _{\mu }U)\phi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\partial _{\mu }\phi (x)+i(\partial _{\mu }\alpha )e^{i\alpha (x)}\phi (x)

.

Следовательно, кинетический член вида $\phi ^{\dagger }\partial _{\mu }\phi$ в лагранжиане не инвариантен относительно калибровочных преобразований.

Определение калибровочной ковариантной производной

Основная причина некалибровочной инвариантности состоит в том, что при записи поля $\phi =(\phi _{1},\ldots \phi _{n})$ как вектор-строка или в индексной записи $\phi _{a}$ , мы неявно сделали выбор поля базового кадра , т.е. набора полей $\varphi ^{1}(x),\ldots ,\varphi ^{n}(x)$ такое, что каждое поле может быть однозначно выражено как $\phi =\phi _{a}\varphi ^{a}$ для функций $\phi _{a}(x)$ (с использованием суммирования Эйнштейна ) и предположил, что поля кадра $\varphi ^{a}$ постоянны . Местный (т.е. $x$ зависимая) калибровочную инвариантность можно рассматривать как инвариантность относительно выбора системы отсчета. Однако если один базисный фрейм так же хорош, как и любой калибровочный эквивалент другого, мы не можем считать поля фрейма постоянными без нарушение локальной калибровочной симметрии.

Мы можем ввести калибровочную ковариантную производную $D_{\mu }$ как обобщение частной производной $\partial _{\mu }$ который действует непосредственно на поле $\phi$ а не его компоненты $\phi _{a}$ Что касается выбора кадра. Калибровочная ковариантная производная определяется как оператор, удовлетворяющий правилу произведения

D_{\mu }(f\phi )=(\partial _{\mu }f)\phi +f(D_{\mu }\phi )

для каждой гладкой функции $f$ (это определяющее свойство соединения).

Чтобы вернуться к индексной записи, мы используем правило произведения

D_{\mu }\phi =D_{\mu }(\phi _{a}\varphi ^{a})=(\partial _{\mu }\phi _{a})\varphi ^{a}+\phi _{a}(D_{\mu }\varphi ^{a}).

.

Для фиксированной $a$ , $D_{\mu }\varphi ^{a}$ является полем, поэтому его можно расширить за счет поля кадра.Следовательно, калибровочно-ковариантная производная и поле репера определяют (возможно, неабелев) калибровочный потенциал .

D_{\mu }\varphi ^{a}=-igA_{\mu b}^{a}\varphi ^{b}

(фактор $-ig$ является традиционным для компактных калибровочных групп и интерпретируется как константа связи). И наоборот, учитывая рамку $\varphi ^{1},\ldots \varphi ^{n}$ и калибровочный потенциал $A_{\mu b}^{a}$ ,это однозначно определяет калибровочную ковариантную производную. Затем мы получаем

D_{\mu }\phi =(D_{\mu }\phi )_{a}\varphi ^{a}=(\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu a}^{b}\phi _{b})\varphi ^{a}

.

и с подавленными полями кадра это дает индексную запись

(D_{\mu }\phi )_{a}=\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu a}^{b}\phi _{b},

который из-за злоупотребления обозначениями часто записывается как

D_{\mu }\phi _{a}=\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu a}^{b}\phi _{b}

.

Это определение калибровочной ковариантной производной, обычно представленное в физике. ^[11]

Часто предполагается, что калибровочная ковариантная производная удовлетворяет дополнительным условиям, делающим дополнительную структуру «постоянной» в том смысле, что ковариантная производная обращается в нуль.Например, если у нас есть эрмитово произведение $h$ на полях (например, сопряженное скалярное произведение Дирака ${\bar {\phi }}\psi$ для спиноров), сводя калибровочную группу к унитарной группе, можно наложить дополнительное условие

\partial _{\mu }h(\phi ,\psi )=h(D_{\mu }\phi ,\psi )+h(\phi ,D_{\mu }\psi )

делая эрмитово произведение «постоянным». Записывая это относительно местного $h$ -ортонормированное поле кадра дает

\partial _{\mu }(\phi _{a}^{*}\psi _{a})=\sum _{a}(D_{\mu }\phi )_{a}^{*}\psi _{a}+\phi _{a}^{*}(D_{\mu }\psi )_{a}

,

и используя вышеизложенное, мы видим, что $A_{\mu }$ должен быть эрмитовым, т.е. $A_{\mu a}^{b}={A_{\mu b}^{a}}^{*}$ (мотивируя дополнительный фактор $i$ ). Эрмитовы матрицы (с точностью до множителя $i$ ) образующие унитарной группы. В более общем смысле, если калибровочная ковариантная производная сохраняет калибровочную группу $G$ представительство $\rho$ , калибровочную ковариантную связность можно записать как

(D_{\mu }\phi )_{a}=\partial _{\mu }\phi _{a}-igA_{\mu }^{K}\rho '(t_{K})_{a}^{b}\phi _{b}

где $\rho '$ является представлением алгебры Ли, ассоциированным с групповым представлением $\rho$ (место соч.).

Обратите внимание, что включение калибровочной ковариантной производной (или ее калибровочного потенциала ) в качестве физического поля «поле с нулевой калибровочной ковариантной производной вдоль касательной кривой $\gamma$ "

D_{\dot {\gamma }}\phi =({\frac {d}{dt}}\gamma ^{\mu })D_{\mu }\phi =0

это физически значимое определение поля $\phi$ постоянная вдоль (гладкой) кривой.Следовательно, калибровочная ковариантная производная определяет (и определяется) параллельный транспорт .

Напряженность поля датчика

В отличие от частных производных, калибровочные ковариантные производные не коммутируют. Однако почти так оно и есть в том смысле, что коммутатор является оператором не порядка 2, а порядка 0, т. е. линеен над функциями:

[D_{\mu },D_{\nu }](f\phi )=(\partial _{\mu }\partial _{\nu }f)\phi +\partial _{\nu }fD_{\mu }\phi +\partial _{\mu }fD_{\nu }\phi +fD_{\mu }D_{\nu }\phi -(\mu \leftrightarrow \nu )=f[D_{\mu },D_{\nu }]\phi

.

Линейная карта

F_{\mu \nu }=-1/(ig)[D_{\mu },D_{\nu }]

называется калибровочной напряженностью поля (см. ссылку).В индексных обозначениях, используя калибровочный потенциал

F_{\mu \nu \,b}^{\ a}=\partial _{\mu }A_{\nu b}^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu b}^{a}-ig(A_{\mu c}^{a}A_{\nu b}^{c}-A_{\nu c}^{a}A_{\mu b}^{c})

.

Если $D_{\mu }$ является G-ковариантной производной, последний термин можно интерпретировать как коммутатор в алгебре Ли группы G и $F_{\mu \nu }$ как оценивается алгебра Ли (loc. cit).

Инвариантность относительно калибровочных преобразований

Калибровочная ковариантная производная ковариантно преобразуется при калибровочных преобразованиях, т.е. для всех $\phi$

D_{\mu }\phi (x)\rightarrow D'_{\mu }\phi '(x)=D'_{\mu }U(x)\phi (x)=U(x)D_{\mu }\phi (x),

который в операторной форме принимает вид

D'_{\mu }U(x)=U(x)D_{\mu }

или

D'_{\mu }=U(x)D_{\mu }U^{-1}(x).

В частности (подавление зависимости от $x$ )

-igF'_{\mu \nu }=[D'_{\mu },D'_{\nu }]=[UD_{\mu }U^{-1},UD_{\nu }U^{-1}]=U[D_{\mu },D_{\nu }]U^{-1}=-igUF_{\mu \nu }U^{-1}

.

Далее (подавив индексы и заменив их матричным умножением), если $D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }$ имеет форму выше, $D'_{\mu }$ имеет форму

D'_{\mu }=\partial _{\mu }+(\partial _{\mu }U^{-1})U-igUA_{\mu }U^{-1}

или используя $U(x)=e^{i\alpha (x)}$ ,

D'_{\mu }=\partial _{\mu }-i\partial _{\mu }\alpha -igUA_{\mu }U^{-1}

который также имеет эту форму.

В эрмитовом случае с унитарной калибровочной группой $U^{-1}=U^{\dagger }$ и мы нашли дифференциальный оператор первого порядка $D_{\mu }$ с $\partial _{\mu }$ как член первого порядка такой, что

\phi ^{\dagger }D_{\mu }\phi \rightarrow \phi '^{\dagger }D'_{\mu }\phi '=\phi ^{\dagger }D_{\mu }\phi .

.

Калибровочная теория

В калибровочной теории , изучающей особый класс полей , имеющих важное значение для квантовой теории поля , в лагранжианах используются различные поля, инвариантные относительно локальных калибровочных преобразований. Кинетические члены включают производные полей, которые, согласно приведенным выше аргументам, должны включать калибровочно-ковариантные производные.

Абелева калибровочная теория

калибровочная ковариантная производная $D_{\mu }$ на комплексном скалярном поле $\phi =\phi _{1}\varphi ^{1}$ (т.е. $n=1$ ) бесплатно $q$ это $U(1)$ связь. Калибровочный потенциал $A_{\mu }$ является матрицей (1 x 1), т.е. скаляром.

(D_{\mu }\phi )_{1}=(\partial _{\mu }\phi _{1}-iqA_{\mu }\phi _{1})

Напряженность калибровочного поля равна

F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }

Калибровочный потенциал можно интерпретировать как электромагнитный четырехпотенциал , а напряженность калибровочного поля — как тензор электромагнитного поля . Поскольку это включает в себя только заряд поля, а не более высокие мультиполи, такие как магнитный момент (и неопределенным и неуникальным образом, поскольку он заменяет $\partial _{\mu }$ к $D_{\mu }$ ^[12]) это называется минимальной связью .

Для спинорного поля Дирака $\psi$ платный $q$ ковариантная производная также является $U(1)$ связи (поскольку она должна коммутировать с гамма-матрицами) и определяется как

(D_{\mu }\psi )_{\alpha }:=(\partial _{\mu }-iqA_{\mu })\psi _{\alpha }

где снова $A_{\mu }$ интерпретируется как электромагнитный четырехпотенциал и $F_{\mu \nu }$ как тензор электромагнитного поля. (Знак минус — это соглашение, действительное для метрической сигнатуры Минковского (−, +, +, +) , которая распространена в общей теории относительности и используется ниже. Для физики элементарных частиц соглашения (+, −, −, −) это $D_{\mu }:=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }$ . Заряд электрона : определяется как отрицательный $q_{e}=-|e|$ , а поле Дирака определяется как положительное преобразование как $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ )

Квантовая электродинамика

Если калибровочное преобразование задается формулой

\psi \mapsto e^{i\Lambda }\psi

а для калибровочного потенциала

A_{\mu }\mapsto A_{\mu }+{1 \over e}(\partial _{\mu }\Lambda )

затем $D_{\mu }$ трансформируется как

D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )

,

и $D_{\mu }\psi$ трансформируется как

D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\Lambda }D_{\mu }\psi

и ${\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ трансформируется как

{\bar {\psi }}\mapsto {\bar {\psi }}e^{-i\Lambda }

так что

{\bar {\psi }}D_{\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }}D_{\mu }\psi

и ${\bar {\psi }}D_{\mu }\psi$ Таким образом, в КЭД лагранжиан является калибровочно-инвариантным, и поэтому калибровочно-ковариантная производная названа удачно. ^{[ нужна ссылка ]}

С другой стороны, нековариантная производная $\partial _{\mu }$ не сохранит калибровочную симметрию лагранжиана, поскольку

{\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi +i{\bar {\psi }}(\partial _{\mu }\Lambda )\psi

.

Квантовая хромодинамика

В квантовой хромодинамике калибровочная ковариантная производная равна ^[13]

D_{\mu }:=\partial _{\mu }-ig_{s}\,G_{\mu }^{\alpha }\,\lambda _{\alpha }/2

где $g_{s}$ – константа связи сильного взаимодействия, $G$ — глюонное калибровочное поле для восьми различных глюонов $\alpha =1\dots 8$ , и где $\lambda _{\alpha }$ — одна из восьми матриц Гелл-Манна . Матрицы Гелла-Манна дают представление группы цветовой симметрии SU (3) . Для кварков представлением является фундаментальное представление , для глюонов — присоединенное представление .

Стандартная модель

Ковариантная производная в Стандартной модели объединяет электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия. Его можно выразить в следующей форме: ^[14]

D_{\mu }:=\partial _{\mu }-i{\frac {g'}{2}}Y\,B_{\mu }-i{\frac {g}{2}}\sigma _{j}\,W_{\mu }^{j}-i{\frac {g_{s}}{2}}\lambda _{\alpha }\,G_{\mu }^{\alpha }

Калибровочные поля здесь принадлежат фундаментальным представлениям электрослабой . группы Ли $U(1)\times SU(2)$ раз на цветовую симметрию группы Ли SU(3) . Константа связи $g'$ обеспечивает связь гиперзаряда $Y$ к $B$ бозон и $g$ связь через три векторных бозона $W^{j}$ $(j=1,2,3)$ к слабому изоспину, компоненты которого записаны здесь в виде матриц Паули $\sigma _{j}$ . По механизму Хиггса эти бозонные поля объединяются в безмассовое электромагнитное поле. $A_{\mu }$ и поля трех массивных векторных бозонов $W^{\pm }$ и $Z$ .

Общая теория относительности

Ковариантная производная в общей теории относительности является частным примером калибровочной ковариантной производной. Оно соответствует связности Леви Чивиты (специальной римановой связности ) на касательном расслоении (или расслоении фреймов ), т. е. действует на касательные векторные поля или, в более общем смысле, на тензоры. Обычно его записывают как $\nabla$ вместо $D$ . В этом частном случае выбор (локальных) координат $x^{1},\ldots ,x^{d}$ не только дает частные производные $\partial _{\mu }$ , но они служат каркасом касательных векторов $\partial _{1},\ldots \partial _{d}$ в котором векторное поле $v$ может быть однозначно выражено как $v=v^{\mu }\partial _{\mu }$ (здесь используется определение векторного поля как оператора гладких функций, который удовлетворяет правилу произведения, т.е. деривации ). Следовательно, в этом случае «внутренние индексы также являются индексами пространства-времени». С точностью до несколько иной нормировки (и обозначений) калибровочный потенциал $A_{\mu \nu }^{\lambda }$ – это символ Кристоффеля , определяемый формулой

\nabla _{\mu }\partial _{\nu }=\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\partial _{\lambda }

.

Это дает ковариантную производную

(\nabla _{\mu }v)^{\nu }=(\nabla _{\mu }(v^{\lambda }\partial _{\lambda }))^{\nu }=((\partial _{\mu }v^{\lambda })\partial _{\lambda }+v^{\lambda }(\nabla _{\mu }\partial _{\lambda }))^{\nu }=\partial _{\mu }v^{\nu }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }v^{\lambda }

.

Формальное сходство с калибровочной ковариантной производной становится более очевидным, когда выбор координат отделен от выбора системы отсчета векторных полей. $e_{1}=e_{1}^{\mu }\partial _{\mu },\ldots ,e_{d}=e_{d}^{\mu }\partial _{\mu }$ . Особенно когда кадр ортонормирован, такой кадр обычно называют d-Bein . Затем

(\nabla _{\mu }v)^{n}=(\nabla _{\mu }(v^{\ell }e_{\ell }))^{n}=((\partial _{\mu }v^{\ell })e_{\ell }+v^{\ell }(\nabla _{\mu }e_{\ell }))^{n}=\partial _{\mu }v^{n}+\Gamma _{\mu \ell }^{n}v^{\ell }

где $\nabla _{\mu }e_{m}=\Gamma _{\mu m}^{\ell }e_{\ell }$ .Прямым аналогом «калибровочной свободы» калибровочной ковариантной производной является произвольность выбора ортонормированного d-Бейна в каждой точке пространства-времени : локальная лоренц-инвариантность. ^{[ нужна ссылка ]}. Однако в этом случае более общая независимость выбора координат для определения связности Леви Чивиты дает диффеоморфизм или общую координатную инвариантность.

Гидродинамика

В гидродинамике калибровочно-ковариантная производная жидкости может быть определена как

\nabla _{t}\mathbf {v} :=\partial _{t}\mathbf {v} +(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v}

где $\mathbf {v}$ скорости – векторное поле жидкости. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также

Ссылки

^ Л.Д. Фаддеев, А.А. Славнов, Калибровочные поля: введение в калибровочную теорию , (1980) Бенджамин Каммингс, ISBN 0-8053-9016-2
^ Клод Ицыксон, Жан-Бернар Зубер, Квантовая теория поля (1980) McGraw-Hill ISBN 0-07-032071-3
^ Уоррен Сигел, Филдс (1999) ArXiv
^ Ричард С. Пале, Геометризация физики (1981) Конспект лекций, Институт математики, Национальный университет Цин Хуа
^ М. Е. Майер, « Обзор: Дэвид Д. Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы », Bull. амер. Математика. Соц. (НС) 9 (1983), вып. 1, 83--92
^ Jump up to: ^а ^б Александр Гуай, Геометрические аспекты локальной калибровочной симметрии (2004)
^ Jump up to: ^а ^б Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн и Джон Арчибальд Уилер, Гравитация , (1973) WH Freeman and Company
^ Дэвид Бликер, « Калибровочная теория и вариационные принципы , заархивировано 9 июля 2021 г. в Wayback Machine » (1982), D. Reidel Publishing (см. главу 3 )
^ Дэвид Бликер, соч. цит. ( См. главу 6. )
^ Мейнхард Э. Майер, «Основные расслоения против группоидов Ли в калибровочной теории», (1990) в книге «Дифференциальные геометрические методы в теоретической физике» , том 245 , стр. 793-802.
^ Пескин, Майкл, Э.; Шредер, Дэниел, В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Эддисон Уэсли. стр. 78, 490. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Дженкинс, Элизабет Э.; Манохар, Аниш В.; Тротт, Майкл (2013). «О калибровочной инвариантности и минимальной связи» (PDF) . Журнал физики высоких энергий . 2013 (9). Спрингер. дои : 10.1007/JHEP09(2013)063 . S2CID 256013401 .
^ «Квантовая хромодинамика (КХД)» .
^ См., например, уравнение. 3.116 в К. Талли, Физика элементарных частиц в двух словах , 2011, Princeton University Press.

Цутому Камбе, Калибровочный принцип идеальных жидкостей и вариационный принцип . (PDF-файл.)

[1] Л.Д. Фаддеев, А.А. Славнов, Калибровочные поля: введение в калибровочную теорию , (1980) Бенджамин Каммингс, ISBN 0-8053-9016-2

[2] Клод Ицыксон, Жан-Бернар Зубер, Квантовая теория поля (1980) McGraw-Hill ISBN 0-07-032071-3

[3] Уоррен Сигел, Филдс (1999) ArXiv

[4] Ричард С. Пале, Геометризация физики (1981) Конспект лекций, Институт математики, Национальный университет Цин Хуа

[5] М. Е. Майер, « Обзор: Дэвид Д. Бликер, Калибровочная теория и вариационные принципы », Bull. амер. Математика. Соц. (НС) 9 (1983), вып. 1, 83--92

[guay-6] Jump up to: ^а ^б Александр Гуай, Геометрические аспекты локальной калибровочной симметрии (2004)

[MTW-7] Jump up to: ^а ^б Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн и Джон Арчибальд Уилер, Гравитация , (1973) WH Freeman and Company

[8] Дэвид Бликер, « Калибровочная теория и вариационные принципы , заархивировано 9 июля 2021 г. в Wayback Machine » (1982), D. Reidel Publishing (см. главу 3 )

[9] Дэвид Бликер, соч. цит. ( См. главу 6. )

[10] Мейнхард Э. Майер, «Основные расслоения против группоидов Ли в калибровочной теории», (1990) в книге «Дифференциальные геометрические методы в теоретической физике» , том 245 , стр. 793-802.

[11] Пескин, Майкл, Э.; Шредер, Дэниел, В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Эддисон Уэсли. стр. 78, 490. {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[12] Дженкинс, Элизабет Э.; Манохар, Аниш В.; Тротт, Майкл (2013). «О калибровочной инвариантности и минимальной связи» (PDF) . Журнал физики высоких энергий . 2013 (9). Спрингер. дои : 10.1007/JHEP09(2013)063 . S2CID 256013401 .

[13] «Квантовая хромодинамика (КХД)» .

[14] См., например, уравнение. 3.116 в К. Талли, Физика элементарных частиц в двух словах , 2011, Princeton University Press.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]