Jump to content

Эквивариантная карта

(Перенаправлено с Эквивариантности )

В математике из одного пространства , эквивариантность — это форма симметрии функций симметричным обладающих симметрией к другому (например, пространствам ). Функция называется эквивариантным отображением, если на ее область определения и кодомен действует одна и та же группа симметрии и когда функция коммутирует с действием группы. То есть применение преобразования симметрии и последующее вычисление функции дает тот же результат, что и вычисление функции и последующее применение преобразования.

Эквивариантные карты обобщают концепцию инвариантов — функций, значение которых не изменяется при преобразовании симметрии их аргумента. Значение эквивариантного отображения часто (неточно) называют инвариантом.

В статистическом выводе эквивалентность при статистических преобразованиях данных является важным свойством различных методов оценки; см . в инвариантной оценке подробности . В чистой математике эквивариантность является центральным объектом изучения эквивариантной топологии и ее подтем, эквивариантных когомологий и эквивариантной стабильной теории гомотопий .

Элементарная геометрия

[ редактировать ]
Центр тяжести треугольника (где встречаются три красных сегмента) эквивариантен относительно аффинных преобразований : центр тяжести преобразованного треугольника является той же точкой, что и преобразование центроида треугольника.

В геометрии треугольников площадь . и периметр треугольника являются инвариантами относительно евклидовых преобразований : перемещение, вращение или отражение треугольника не изменяет его площадь или периметр Однако центры треугольников, такие как центроид , центр описанной окружности , центр и ортоцентр, не являются инвариантными, поскольку перемещение треугольника также приведет к перемещению его центров. Вместо этого эти центры эквивариантны: применение любого евклидова сравнения (комбинации перемещения и вращения) к треугольнику, а затем построение его центра дает ту же точку, что и сначала построение центра, а затем применение того же сравнения к центру. В более общем смысле, все центры треугольников также эквивариантны относительно преобразований подобия (комбинаций перемещения, вращения, отражения и масштабирования). [1] и центроид эквивариантен относительно аффинных преобразований . [2]

Одна и та же функция может быть инвариантом для одной группы симметрий и эквивариантом для другой группы симметрий. Например, при преобразованиях подобия вместо сравнений площадь и периметр перестают быть инвариантными: масштабирование треугольника также изменяет его площадь и периметр. Однако эти изменения происходят предсказуемым образом: если треугольник масштабируется в s раз , периметр также масштабируется в s , а площадь масштабируется в s. 2 . Таким образом, функцию, отображающую каждый треугольник на его площадь или периметр, можно рассматривать как эквивариантную для мультипликативного группового действия масштабирующих преобразований на положительные действительные числа.

Статистика

[ редактировать ]

Другой класс простых примеров связан со статистической оценкой . Среднее значение выборки (набор действительных чисел) обычно используется в качестве центральной тенденции выборки. Он эквивариантен относительно линейных преобразований действительных чисел, поэтому, например, на него не влияет выбор единиц, используемых для представления чисел. Напротив, среднее значение не эквивариантно по отношению к нелинейным преобразованиям, таким как экспоненты.

Медиана монотонных выборки эквивариантна для гораздо большей группы преобразований — (строго) функций действительных чисел. Этот анализ показывает, что медиана более устойчива к определенным видам изменений в наборе данных и что (в отличие от среднего значения) она имеет смысл для порядковых данных . [3]

Понятия инвариантной оценки и эквивариантной оценки использовались для формализации этого стиля анализа.

Теория представлений

[ редактировать ]

В теории представлений конечных групп векторное пространство, снабженное группой, действующей линейными преобразованиями пространства, называется линейным представлением группы.Линейное отображение , коммутирующее с действием, называется переплетителем . То есть переплетчик — это просто эквивариантное линейное отображение между двумя представлениями. Альтернативно, переплетчик для представлений группы G над полем K — это то же самое, что K [ G ] -модулей , где гомоморфизм K [ G ] групповое кольцо группы G. модулей [4]

При некоторых условиях, если X и Y являются неприводимыми представлениями , то переплетатель (кроме нулевого отображения ) существует только в том случае, если два представления эквивалентны (то есть изоморфны как модули ). Тогда этот переплетатель уникален с точностью до мультипликативного множителя (ненулевого скаляра из K ). Эти свойства сохраняются, когда образ K [ G ] является простой алгеброй с центром K (согласно так называемой лемме Шура : см. простой модуль ). Как следствие, в важных случаях построения переплетателя достаточно, чтобы показать, что представления фактически одинаковы. [5]

Формализация

[ редактировать ]

используя понятие G -множества группы формализовать , G. Эквивариантность можно Это математический объект, состоящий из множества S и группового действия (слева) G на S. математического Если X и Y оба являются G -множествами для одной и той же группы G , то функция f : X Y называется эквивариантной, если

ж ( г · Икс ) знак равно г · ж ( Икс )

для всех g G всех x в X. и [6]

Если одно или оба действия являются правильными, условие эквивалентности можно соответствующим образом модифицировать:

ж ( Икс · г ) знак равно ж ( Икс г ; (право-право)
ж ( Икс · г ) знак равно г −1 · ж ( Икс ) ; (право-лево)
ж ( г · Икс ) знак равно ж ( Икс г −1 ; (слева-права)

Эквивариантные отображения являются гомоморфизмами в категории G -множеств (при фиксированном G ). [7] Следовательно, они также известны как G -морфизмы . [7] G -карты , [8] или G -гомоморфизмы . [9] Изоморфизмы -множеств G представляют собой просто биективные эквивариантные отображения. [7]

Условие эквивалентности можно также понимать как следующую коммутативную диаграмму . Обратите внимание, что обозначает карту, которая принимает элемент и возвращается .

Обобщение

[ редактировать ]

обобщить на произвольные категории Эквивариантные карты можно легко . Каждую группу G можно рассматривать как категорию с одним объектом ( морфизмы в этой категории — это просто элементы G ). произвольной C представление в G в категории C является функтором из G Для C. категории функтор выбирает объект C и подгруппу автоморфизмов Такой этого объекта. Например, G -множество эквивалентно функтору из G в категорию множеств Set , а линейное представление эквивалентно функтору в категорию векторных пространств над полем Vect K .

, ρ и σ Учитывая два представления G в C , эквивариантное отображение между этими представлениями является просто естественным преобразованием ρ в σ. преобразования как морфизмы, можно сформировать категорию всех представлений G в C. Используя естественные Это всего лишь функтор категории C Г .

В качестве другого примера возьмем C = Top , категорию топологических пространств . Представление G в Top — это топологическое пространство , на котором G действует непрерывно . Тогда эквивариантное отображение — это непрерывное отображение f : X Y между представлениями, которое коммутирует с действием G .

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Кимберлинг, Кларк (1994), «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника», Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi : 10.2307/2690608 , JSTOR   2690608 , MR   1573021 . «Подобные треугольники имеют одинаково расположенные центры», с. 164.
  2. ^ Центроид - единственный аффинно-эквивариантный центр треугольника, но более общие выпуклые тела могут иметь другие аффинно-эквивариантные центры; см., например Нейман, Б.Х. (1939), «О некоторых аффинных инвариантах замкнутых выпуклых областей», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 14 (4): 262–272, doi : 10.1112/jlms/s1-14.4.262 , MR   0000978 .
  3. ^ Сарл, Уоррен С. (14 сентября 1997 г.), Теория измерений: Часто задаваемые вопросы (Версия 3) (PDF) , SAS Institute Inc. Пересмотр главы в публикации Международного института статистических приложений (4-е изд.), vol. 1, 1995, Уичито: ACG Press, стр. 61–66.
  4. ^ Фукс, Юрген; Швайгерт, Кристоф (1997), Симметрии, алгебры Ли и представления: аспирантура для физиков , Кембриджские монографии по математической физике, Cambridge University Press, Кембридж, стр. 70, ISBN  0-521-56001-2 , МР   1473220 .
  5. ^ Сексл, Роман У.; Урбантке, Хельмут К. (2001), Относительность, группы, частицы: Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и элементарных частиц , Springer Physics, Вена: Springer-Verlag, стр. 165, номер домена : 10.1007/978-3-7091-6234-7 , ISBN  3-211-83443-5 , МР   1798479 .
  6. ^ Питтс, Эндрю М. (2013), Номинальные наборы: имена и симметрия в информатике , Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, vol. 57, Издательство Кембриджского университета, определение 1.2, с. 14, ISBN  9781107244689 .
  7. ^ Jump up to: а б с Ауслендер, Морис; Бухсбаум, Дэвид (2014), Группы, кольца, модули , Dover Books on Mathematics, Dover Publications, стр. 86–87, ISBN  9780486490823 .
  8. ^ Сигал, ГБ (1971), «Эквивариантная стабильная гомотопическая теория», Труды Международного конгресса математиков (Ницца, 1970), Том 2 , Готье-Виллар, Париж, стр. 59–63, МР   0423340 .
  9. ^ Адхикари, Махима Ранджан; Адхикари, Авишек (2014), Основная современная алгебра с приложениями , Нью-Дели: Springer, стр. 142, номер домена : 10.1007/978-81-322-1599-8 , ISBN  978-81-322-1598-1 , МР   3155599 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a5780e67ca11a9daafa0e28f16da3755__1707407880
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a5/55/a5780e67ca11a9daafa0e28f16da3755.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Equivariant map - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)