Алгеброид Атьи

«Последовательность Атьи» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о спектральной последовательности Атьи и Хирцебруха, см. Спектральную последовательность Атьи-Хирцебруха .

В математике алгеброид Атьи , или последовательность Атьи , главного $G$-пучок $P$ над многообразием $M$, где $G$ — группа Ли , — Ли калибровочного группоида алгеброид $P$. Явно это задается следующей короткой точной последовательностью векторных расслоений над $M$:

$0\to P\times _{G}{\mathfrak {g}}\to TP/G\to TM\to 0.$

Она названа в честь Майкла Атьи , который ввел конструкцию для изучения теории существования сложных аналитических связей . Он играет решающий пример интегрируемости (транзитивных) алгеброидов Ли и имеет приложения в калибровочной теории и геометрической механике .

Определения

Как последовательность

Для любого пучка волокон $P$ над многообразием $M$, дифференциал $d\pi$ проекции $\pi :P\to M$ определяет короткую точную последовательность:

$0\to VP\to TP{\xrightarrow {d\pi }}\pi ^{*}TM\to 0$

векторных расслоений над $P$, где вертикальный расслоение $VP$ является ядром $d\pi$.

Если $P$ является директором $G$-связка, затем группа $G$ действует на векторные расслоения в этой последовательности. Более того, поскольку вертикальный расслоение $VP$ изоморфно тривиальному векторному расслоению $P\times {\mathfrak {g}}\to P$, где ${\mathfrak {g}}$ является Ли алгеброй $G$, его частное по диагонали $G$ действие — это присоединенный пучок $P\times _{G}{\mathfrak {g}}$. В заключение, частное по $G$ точной последовательности, указанной выше, дает короткую точную последовательность: $$0\to P\times _{G}{\mathfrak {g}}\to TP/G\to TM\to 0$$ векторных расслоений над $P/G\cong M$, которая называется Атьи последовательностью $P$.

Как алгеброид Лия

Напомним, что любой принципал $G$-пучок $P\to M$ имеет связанный с ним группоид Ли , называемый его калибровочным группоидом , объектами которого являются точки $M$, и чьи морфизмы являются элементами фактора $P\times P$ диагональным действием $G$, с источником и целью, заданными двумя проекциями $M$. По определению, Атьи алгеброид $P$ это алгеброид Ли $A\to M$ своего калибровочного группоида.

Отсюда следует, что $A=TP/G$, а карта привязки $A\to TM$ определяется дифференциалом $d\pi :TP\to TM$, что $G$-инвариант. Наконец, ядро ​​якоря изоморфно именно $P\times _{G}{\mathfrak {g}}$.

Последовательность Атьи дает короткую точную последовательность ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$-модулей, взяв пространство сечений векторных расслоений. Точнее, сечения алгеброида Атьи $P$ является Ли алгеброй $G$-инвариантные векторные поля на $P$ под скобкой Ли , которая является расширением алгебры Ли векторных полей на $M$ по $G$-инвариантные вертикальные векторные поля. В алгебраическом или аналитическом контексте часто удобно рассматривать последовательность Атьи как точную последовательность пучков локальных сечений векторных расслоений.

Примеры

• Алгеброид Атьи принципала $G$-пучок $G\to *$ это алгебра Ли ${\mathfrak {g}}\to *$
• Алгеброид Атьи принципала $\{e\}$-пучок $M\to M$ касательный алгеброид $TM\to M$
• Учитывая переходный $G$-действие на $M$, алгеброид Атьи главного расслоения $G\to M$, со структурной группой группа изотропии $H\subseteq G$ действия в произвольной точке есть алгеброид действия ${\mathfrak {h}}\times M\to M$
• Алгеброид Атьи реперного расслоения векторного расслоения $E\to M$ это общий линейный алгеброид $\mathrm {Der} (E)\to M$ (иногда также называемый алгеброидом Атьи $E$)

Характеристики

Транзитивность и интегрируемость

Алгеброид Атьи принципала $G$-пучок $P\to M$ всегда:

• Транзитивен (поэтому его единственная орбита — это вся $M$ и его изотропное расслоение алгебры Ли является ассоциированным расслоением $P\times _{G}{\mathfrak {g}}$)
• Интегрируемый (до калибровочного группоида $P$)

Обратите внимание, что эти два свойства независимы. Интегрируемые алгеброиды Ли не обязательно должны быть транзитивными; и наоборот, транзитивные алгеброиды Ли (часто называемые абстрактными последовательностями Атьи ) не обязательно интегрируемы.

Хотя любой транзитивный группоид Ли изоморфен некоторому калибровочному группоиду, не все транзитивные алгеброиды Ли являются алгеброидами Атьи некоторого главного расслоения. Интегрируемость является важнейшим свойством, позволяющим различать эти два понятия: транзитивный алгеброид Ли интегрируем тогда и только тогда, когда он изоморфен алгеброиду Атьи некоторого главного расслоения.

Отношения со связями

Правые разбиения $\sigma :TM\to A$ последовательности Атьи главного расслоения $P\to M$ находятся в биективном соответствии с главными связностями на $P\to M$. Аналогично кривизнам таких связей соответствуют две формы $\Omega _{\sigma }\in \Omega ^{2}(M,P[{\mathfrak {g}}])$ определяется: $$\Omega _{\sigma }(X,Y):=[\sigma (X),\sigma (Y)]_{A}-\sigma ([X,Y]_{{\mathfrak {X}}(M)})$$

Морфизмы

Любой морфизм $\phi :P\to P'$ главных расслоений индуцирует морфизм алгеброида Ли $d\phi :TP/G\to TP/G'$ между соответствующими алгеброидами Атьи.

Ссылки

• Майкл Ф. Атья (1957), «Комплексные аналитические связи в расслоениях», Trans. амер. Математика. Соц. , 85 : 181–207, doi : 10.1090/s0002-9947-1957-0086359-5 .
• Януш Грабовский; Алексей Котов и Норберт Пончин (2011), «Геометрические структуры, закодированные в структуре лжи алгеброида Атьи», Transformation Groups , 16 : 137–160, arXiv : 0905.1226 , doi : 10.1007/s00031-011-9126-9 , доступно как arXiv:0905.1226 .
• Кирилл Маккензи (1987), Группоиды Ли и алгеброиды Ли в дифференциальной геометрии , конспекты лекций Лондонского математического общества, том. 124, КУБОК, ISBN  978-0-521-34882-9 .
• Кирилл Маккензи (2005), Общая теория группоидов и алгеброидов лжи , конспекты лекций Лондонского математического общества, том. 213, КУБОК, ISBN  978-0-521-49928-6 .
• Том Местдаг и Баво Ланджерок (2005), «Алгеброидная структура Ли для неголономных систем», J. Phys. А: Математика. Gen. , 38 : 1097–1111, arXiv : math/0410460 , Bibcode : 2005JPhA...38.1097M , doi : 10.1088/0305-4470/38/5/011 .