Минимальная связь

В аналитической механике и квантовой теории поля минимальная связь относится к связи между полями , которая включает в себя только распределение заряда , а не высшие мультипольные моменты распределения заряда. Эта минимальная связь отличается, например, от связи Паули включает магнитный момент электрона , которая непосредственно в лагранжиан . ^[1]

Электродинамика

В электродинамике минимальной связи достаточно для учета всех электромагнитных взаимодействий. Более высокие моменты частиц являются следствием минимальной связи и ненулевого спина .

Нерелятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

В декартовых координатах лагранжиан : нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле равен (в единицах СИ )

{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi

где $q$ — электрический заряд частицы, $φ$ — электрический скалярный потенциал , а $A i$ , $i = 1, 2, 3$ — компоненты магнитного векторного потенциала , которые все могут явно зависеть от $x_{i}$ и $t$ .

Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера-Лагранжа дает силы Лоренца закон .

m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,

и называется минимальной связью.

Обратите внимание, что значения скалярного потенциала и векторного потенциала будут меняться во время калибровочного преобразования . ^[2] и сам лагранжиан также будет включать дополнительные члены, но дополнительные члены в лагранжиане в сумме составляют полную производную по времени скалярной функции и, следовательно, по-прежнему дают то же самое уравнение Эйлера-Лагранжа.

Канонические импульсы имеют вид

p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}

Обратите внимание, что канонические импульсы не являются калибровочно-инвариантными и не поддаются физическому измерению. Однако кинетические импульсы

P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}

являются калибровочно-инвариантными и физически измеримыми.

Таким образом, гамильтониан вид как преобразование Лежандра лагранжиана имеет

{\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi

Это уравнение часто используется в квантовой механике .

При калибровочном преобразовании

\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,

где f ( r , t ) — любая скалярная функция пространства и времени, вышеупомянутый лагранжиан, канонические импульсы и гамильтоновы преобразования, например

L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,

которое по-прежнему дает то же уравнение Гамильтона:

{\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}

В квантовой механике волновая функция также претерпевает локальное U(1). групповое преобразование ^[3] во время калибровочного преобразования, что означает, что все физические результаты должны быть инвариантны относительно локальных преобразований U(1).

Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

Релятивистский лагранжиан для частицы ( масса покоя $m$ и заряд $q$ ) определяется выражением:

{\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)

Таким образом, канонический импульс частицы равен

\mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A}

то есть сумма кинетического импульса и потенциального импульса.

Решая скорость, получаем

{\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}

Итак, гамильтониан

{\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi

В результате получается уравнение силы (эквивалентное уравнению Эйлера – Лагранжа )

{\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi

из чего можно вывести

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}

В приведенном выше выводе используется тождество векторного исчисления :

{\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).

Эквивалентное выражение для гамильтониана как функции релятивистского (кинетического) импульса $P = γm ẋ (t) = p - q A$ , равно

{\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V

Это имеет то преимущество, что кинетический импульс $P$ можно измерить экспериментально, тогда как канонический импульс $p$ - нет. Обратите внимание, что гамильтониан ( полная энергия ) можно рассматривать как сумму релятивистской энергии (кинетическая + отдых) , $E = γmc. 2$ плюс энергия потенциальная $V = eφ$ .

Инфляция

В исследованиях инфляции космологической минимальная связь скалярного поля обычно относится к минимальной связи с гравитацией. Это означает, что действие для поля инфлатона $\varphi$ не связана со скалярной кривизной . Его единственная связь с гравитацией - это связь с инвариантной мерой Лоренца. ${\sqrt {g}}\,d^{4}x$ построенный по метрике (в планковских единицах ):

S=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu }\varphi -V(\varphi )\right)

где $g:=\det g_{\mu \nu }$ и используя калибровочную ковариантную производную .

Ссылки

^ «Минимальная связь — обзор | Темы ScienceDirect» . www.sciencedirect.com . Проверено 31 января 2023 г.
^ Средницкий, Марк (январь 2007 г.). Квантовая теория поля . дои : 10.1017/cbo9780511813917 . ISBN 9780511813917 . Проверено 8 мая 2020 г. {{cite book}}: |website= игнорируется ( помогите )
^ Зинн-Джастин, Жан; Гуида, Риккардо (4 декабря 2008 г.). «Калибровочная инвариантность» . Схоларпедия . 3 (12): 8287. Бибкод : 2008SchpJ...3.8287Z . doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN 1941-6016 .

[1] «Минимальная связь — обзор | Темы ScienceDirect» . www.sciencedirect.com . Проверено 31 января 2023 г.

[2] Средницкий, Марк (январь 2007 г.). Квантовая теория поля . дои : 10.1017/cbo9780511813917 . ISBN 9780511813917 . Проверено 8 мая 2020 г. {{cite book}}: |website= игнорируется ( помогите )

[3] Зинн-Джастин, Жан; Гуида, Риккардо (4 декабря 2008 г.). «Калибровочная инвариантность» . Схоларпедия . 3 (12): 8287. Бибкод : 2008SchpJ...3.8287Z . doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN 1941-6016 .

[1]

[2]

[3]