Связь Леви-Чивита

В римановой или псевдоримановой геометрии (в частности, в лоренцевой геометрии общей теории относительности ) связность Леви-Чивита — это уникальная аффинная связность на касательном расслоении многообразия аффинная (т. е. связность ), которая сохраняет ( псевдо ) риманову метрику и не имеет кручения .

Основная теорема римановой геометрии утверждает, что существует единственная связь, удовлетворяющая этим свойствам.

В теории римановых и псевдоримановых многообразий термин ковариантная производная часто используется для обозначения связности Леви-Чивита. Компоненты (структурные коэффициенты) этой связи относительно системы локальных координат называются символами Кристоффеля .

История

Связь Леви-Чивита названа в честь Туллио Леви-Чивита , хотя первоначально она была «открыта» Элвином Бруно Кристоффелем . Леви-Чивита, вместе с Грегорио Риччи-Курбастро использовал символы Кристоффеля. определить понятие параллельного переноса и изучить связь параллельного переноса с кривизной , развивая тем самым современное понятие голономии .

В 1869 году Кристоффель обнаружил, что компоненты внутренней производной векторного поля при изменении системы координат преобразуются в компоненты контравариантного вектора. Это открытие стало настоящим началом тензорного анализа.

В 1906 году Л. Дж. Брауэр был первым математиком, рассмотрел параллельный перенос вектора который в случае пространство постоянной кривизны .

В 1917 году Леви-Чивита указал на ее важность для случая гиперповерхности, погруженной в евклидово пространство , т. е. для случая риманова многообразия, вложенного в «большое» объемлющее пространство. Он интерпретировал внутреннюю производную в случае вложенной поверхности как тангенциальную составляющую обычной производной в окружающем аффинном пространстве. Идеи Леви-Чивиты о внутренней производной и параллельном перемещении вектора вдоль кривой имеют смысл на абстрактном римановом многообразии, даже несмотря на то, что первоначальная мотивация основывалась на конкретном вложении $M^{n}\subset \mathbf {R} ^{n(n+1)/2}.$

В 1918 г., независимо от Леви-Чивита, Ян Арнольдус Схоутен . аналогичные результаты получил В том же году Герман Вейль обобщил Результаты Леви-Чивита.

Обозначения

• ( M , g ) обозначает риманово или псевдориманово многообразие .
• TM — касательное расслоение к M .
• g — риманова или псевдориманова M . метрика
• X , Y , Z — гладкие векторные поля на M , т.е. сечения TM . гладкие
• [ X , Y ] — Ли X Y и . скобка Это снова гладкое векторное поле.

Метрика g до двух векторов или векторных полей X , Y. может принимать в качестве аргументов В первом случае результатом является число, (псевдо-) внутренний продукт X и Y . В последнем случае скалярное произведение X _p , Y _p берется во всех точках p на многообразии так, что g ( X , Y ) определяет гладкую функцию на M . Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы над гладкими функциями. В местных координатах $(x_{1},\ldots ,x_{n})$, действие гласит

$X(f)=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}f=X^{i}\partial _{i}f$

где Эйнштейна соглашение используется о суммировании.

Формальное определение

Аффинное соединение $\nabla$ называется связностью Леви-Чивита, если

1. он сохраняет метрику , т. е. $\nabla g=0$.
2. оно кручения без , т. е. для любых векторных полей $X$ и $Y$ у нас есть $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$, где $[X,Y]$ — скобка Ли векторных полей $X$ и $Y$.

Условие 1 выше иногда называют совместимостью с метрикой , а условие 2 иногда называют симметрией, ср. Текст Ду Кармо.

Основная теорема (псевдо)римановой геометрии

Основная статья: Основная теорема римановой геометрии

Теорема. Каждое (псевдо)риманово многообразие. $(M,g)$ имеет уникальную связь с Levi Civita $\nabla$.

Доказательство :Чтобы доказать единственность, разгадайте определение действия связности на тензоры и найдите

$X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=(\nabla _{X}g)(Y,Z)+g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)$.

Следовательно, можно написать условие, что $\nabla$ сохраняет метрику как

$X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)$.

По симметрии $g$,

$X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(Y,X){\bigr )}=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)$.

Поэтому в силу отсутствия кручения правая часть равна

$2g(\nabla _{X}Y,Z)-g([X,Y],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X)$.

Таким образом, Кошуля формула

$g(\nabla _{X}Y,Z)={\tfrac {1}{2}}{\Big \{}X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}+Y{\bigl (}g(Z,X){\bigr )}-Z{\bigl (}g(X,Y){\bigr )}+g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)-g([X,Z],Y){\Big \}}$

держит. Следовательно, если связь Леви-Чивита существует, она должна быть уникальной, потому что $Z$ является произвольным, $g$ невырождена и правая часть не зависит от $\nabla$.

Для доказательства существования заметим, что для данного векторного поля $X$ и $Y$, правая часть выражения Кошуля линейна по гладким функциям в векторном поле $Z$, а не просто реально-линейный. Следовательно, в силу невырожденности $g$, правая часть однозначно определяет некоторое новое векторное поле, которое условно обозначается $\nabla _{X}Y$ как в левой части. Подставив формулу Кошуля, теперь можно убедиться, что для всех векторных полей $X,Y,Z$ и все функции $f$,

$g(\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2}),Z)=g(\nabla _{X}Y_{1},Z)+g(\nabla _{X}Y_{2},Z)$

$g(\nabla _{X}(fY),Z)=X(f)g(Y,Z)+fg(\nabla _{X}Y,Z)$

$g(\nabla _{X}Y,Z)+g(\nabla _{X}Z,Y)=X{\bigl (}g(Y,Z){\bigr )}$

$g(\nabla _{X}Y,Z)-g(\nabla _{Y}X,Z)=g([X,Y],Z).$

Следовательно, выражение Кошуля действительно определяет связность, причем эта связность совместима с метрикой и не имеет кручения, т. е. является связностью Леви-Чивита.

С небольшими изменениями то же доказательство показывает, что существует единственная связность, совместимая с метрикой и имеющая предписанное кручение.

Символы Кристофера

Позволять $\nabla$ — аффинная связность на касательном расслоении. Выберите местные координаты $x^{1},\ldots ,x^{n}$ с полями координатных базисных векторов $\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ и напиши $\nabla _{j}$ для $\nabla _{\partial _{j}}$. Кристоффеля Символы $\Gamma _{jk}^{l}$ из $\nabla$ относительно этих координат определяются как

$\nabla _{j}\partial _{k}=\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}$

Символы Кристоффеля, наоборот, определяют связь $\nabla$ в координатной окрестности, потому что

${\begin{aligned}\nabla _{X}Y&=\nabla _{X^{j}\partial _{j}}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}\nabla _{j}(Y^{k}\partial _{k})\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\nabla _{j}\partial _{k}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{k})\partial _{k}+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}\partial _{l}{\bigr )}\\&=X^{j}{\bigl (}\partial _{j}(Y^{l})+Y^{k}\Gamma _{jk}^{l}{\bigr )}\partial _{l}\end{aligned}}$

то есть,

$(\nabla _{j}Y)^{l}=\partial _{j}Y^{l}+\Gamma _{jk}^{l}Y^{k}$

Аффинное соединение $\nabla$ совместим с метрикой тогда и только тогда, когда

$\partial _{i}{\bigl (}g(\partial _{j},\partial _{k}){\bigr )}=g(\nabla _{i}\partial _{j},\partial _{k})+g(\partial _{j},\nabla _{i}\partial _{k})=g(\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l},\partial _{k})+g(\partial _{j},\Gamma _{ik}^{l}\partial _{l})$

т.е. тогда и только тогда, когда

$\partial _{i}g_{jk}=\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}+\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}.$

Аффинная связность ∇ не имеет кручения тогда и только тогда, когда

$\nabla _{j}\partial _{k}-\nabla _{k}\partial _{j}=(\Gamma _{jk}^{l}-\Gamma _{kj}^{l})\partial _{l}=[\partial _{j},\partial _{k}]=0.$

т.е. тогда и только тогда, когда

$\Gamma _{jk}^{l}=\Gamma _{kj}^{l}$

симметричен по двум нижним индексам.

Как проверяют, принимая за $X,Y,Z$, координатные векторные поля $\partial _{j},\partial _{k},\partial _{l}$ (или вычисляет напрямую), выражение Кошуля связи Леви-Чивита, полученное выше, эквивалентно определению символов Кристоффеля в терминах метрики как

$\Gamma _{jk}^{l}={\tfrac {1}{2}}g^{lr}\left(\partial _{k}g_{rj}+\partial _{j}g_{rk}-\partial _{r}g_{jk}\right)$

где как обычно $g^{ij}$ являются коэффициентами двойственного метрического тензора, т.е. элементами обратной матрицы $g_{kl}$.

Производная по кривой

и любая аффинная связность) также определяет производную по кривым , иногда обозначаемую D. Связность Леви-Чивита ( как

Учитывая гладкую кривую γ на ( M , g ) и векторное поле V вдоль γ, ее производная определяется формулой

$D_{t}V=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}V.$

Формально D — это соединение обратного образа γ *∇ на расслоении обратного образа γ * TM .

В частности, ${\dot {\gamma }}(t)$ является векторным полем вдоль самой кривой γ . Если $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)$ обращается в нуль, кривая называется геодезической ковариантной производной. Формально это условие можно переформулировать как исчезновение обратной связи, примененной к ${\dot {\gamma }}$:

$\left(\gamma ^{*}\nabla \right){\dot {\gamma }}\equiv 0.$

Если ковариантная производная является связностью Леви-Чивиты некоторой метрики, то геодезическими для связности являются именно те геодезические метрики , которые параметризуются пропорционально длине своей дуги.

Параллельная транспортировка

В общем, параллельный транспорт вдоль кривой относительно соединения определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривой. Если соединение является соединением Леви-Чивита, то эти изоморфизмы ортогональны , то есть сохраняют скалярные произведения в различных касательных пространствах.

На изображениях ниже показан параллельный транспорт, вызванный связью Леви-Чивита, связанной с двумя разными римановыми метриками на проколотой плоскости. $\mathbf {R} ^{2}\backslash \{0,0\}$. Кривая, по которой осуществляется параллельный транспорт, представляет собой единичный круг. В полярных координатах метрика слева — это стандартная евклидова метрика. $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}$, а метрика справа равна $ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}$. Первая метрика распространяется на всю плоскость, а вторая имеет особенность в начале координат:

$dr={\frac {xdx+ydy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

$d\theta ={\frac {xdy-ydx}{x^{2}+y^{2}}}$

$dr^{2}+d\theta ^{2}={\frac {(xdx+ydy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {(xdy-ydx)^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$.

Параллельные перевозки на проколотой плоскости по соединениям Леви-Чивита

Этот транспорт задается метрикой $ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}$.

Этот транспорт задается метрикой $ds^{2}=dr^{2}+d\theta ^{2}$.

Внимание: это параллельная транспортировка по проколотой плоскости по единичному кругу, а не параллельная транспортировка по единичному кругу. Действительно, на первом изображении векторы выходят за пределы касательного пространства к единичной окружности.

Пример: единичная сфера в R ³

Пусть ⟨ , ⟩ — обычное скалярное произведение на R ³ . Пусть S ² — единичная сфера в R ³ . Касательное пространство к S ² в точке m естественным образом отождествляется с векторным подпространством R ³ состоящий из всех векторов, ортогональных m . Отсюда следует, что векторное поле Y на S ² можно рассматривать как карту Y : S ² → Р ³ , что удовлетворяет ${\bigl \langle }Y(m),m{\bigr \rangle }=0,\qquad \forall m\in \mathbf {S} ^{2}.$

Обозначим dm _Y Y отображения . в точке m дифференциал Тогда у нас есть:

Лемма — Формула $$\left(\nabla _{X}Y\right)(m)=d_{m}Y(X(m))+\langle X(m),Y(m)\rangle m$$определяет аффинную связность на S ² с исчезающим кручением.

Доказательство

Непосредственно доказывается, что ∇ удовлетворяет тождеству Лейбница и является C ^∞ ( С ² ) линейный по первой переменной. Также можно с помощью простых вычислений показать, что это соединение не имеет кручения. Итак, все, что здесь нужно доказать, это то, что приведенная выше формула создает векторное поле, касательное к S ² . То есть нам нужно доказать, что для всех m из S ² $${\bigl \langle }\left(\nabla _{X}Y\right)(m),m{\bigr \rangle }=0\qquad (1).$$Рассмотрим карту f , которая отправляет каждое m из S ² до ⟨ Y ( m ), m ⟩ , который всегда равен 0. Отображение f постоянно, следовательно, его дифференциал обращается в нуль. В частности $$d_{m}f(X)={\bigl \langle }d_{m}Y(X),m{\bigr \rangle }+{\bigl \langle }Y(m),X(m){\bigr \rangle }=0.$$Отсюда следует уравнение (1), приведенное выше. КЭД

Фактически эта связность является связностью Леви-Чивита для метрики на S ² унаследовано от Р ³ . Действительно, можно проверить, что эта связность сохраняет метрику.

Поведение при конформном масштабировании

Если метрика $g$ в конформном классе заменяется конформно перемасштабированной метрикой того же класса ${\hat {g}}=e^{2\gamma }g$, то связь Леви-Чивита преобразуется по правилу $${\widehat {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+X(\gamma )Y+Y(\gamma )X-g(X,Y)\mathrm {grad} _{g}(\gamma ).$$где $\mathrm {grad} _{g}(\gamma )$ — векторное поле градиента $\gamma$ т.е. векторное поле $g$-двойственный к $d\gamma$, в местных координатах, заданных формулой $g^{ik}(\partial _{i}\gamma )\partial _{k}$. Действительно, тривиально проверить, что ${\widehat {\nabla }}$ не имеет скручивания. Для проверки метричности предположим, что $g(Y,Y)$ является постоянным. В этом случае $${\hat {g}}({\widehat {\nabla }}_{X}Y,Y)=X(\gamma ){\hat {g}}(Y,Y)={\frac {1}{2}}X({\hat {g}}(Y,Y)).$$

В качестве приложения снова рассмотрим единичную сферу, но на этот раз в стереографической проекции , так что метрика (в комплексных координатах Фубини – Студи $z,{\bar {z}}$) является: $$g={\frac {4\,dz\,d{\bar {z}}}{(1+z{\bar {z}})^{2}}}.$$Это показывает, что метрика сферы конформно плоская, с евклидовой метрикой. $dz\,d{\bar {z}}$, с $\gamma =\ln(2)-\ln(1+z{\bar {z}})$. У нас есть $d\gamma =-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\,dz+z\,d{\bar {z}})$, и так $${\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{z}=-{\frac {2{\bar {z}}\partial _{z}}{1+z{\bar {z}}}}.$$С евклидовым градиентом $\mathrm {grad} _{Euc}(\gamma )=-(1+z{\bar {z}})^{-1}({\bar {z}}\partial _{z}+z\partial _{\bar {z}})$, у нас есть $${\widehat {\nabla }}_{\partial _{z}}\partial _{\bar {z}}=0.$$Эти отношения вместе с их комплексно-сопряженными элементами определяют символы Кристоффеля для двухсферы.

См. также

• Соединение Вайценбека

Ссылки

• Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию . Академическая пресса. ISBN  0-12-116052-1 .
• Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1963). Основы дифференциальной геометрии . Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-470-49647-9 . См. том I, стр. 158

Внешние ссылки

• «Связь Леви-Чивита» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld: связь Леви-Чивита
• PlanetMath: связь Леви-Чивита
• Связь Леви-Чивита в Атласе многообразия