Музыкальный изоморфизм

В математике , точнее, в дифференциальной геометрии , музыкальный изоморфизм (или канонический изоморфизм ) представляет собой изоморфизм между касательным расслоением $\mathrm {T} M$ и котангенс-расслоение $\mathrm {T} ^{*}M$ риманова индуцированного или псевдориманова многообразия, его метрическим тензором . Подобные изоморфизмы имеются и на симплектических многообразиях . Термин «музыкальный» относится к использованию символов. $\flat$ (плоский) и $\sharp$ (острый). ^[1]^[2]

В обозначениях исчисления Риччи идея выражается как повышение и понижение индексов .

В некоторых специализированных приложениях, таких как многообразия Пуассона , отношение может не быть изоморфизмом в особых точках , и поэтому в этих случаях технически это только гомоморфизм.

Мотивация

В линейной алгебре конечномерное векторное пространство изоморфно двойственному ему пространству , но не канонически изоморфно ему. С другой стороны, конечномерное векторное пространство $V$ наделенный невырожденной билинейной формой $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ , канонически изоморфен своему двойственному. Канонический изоморфизм $V\to V^{*}$ дается

v\mapsto \langle v,\cdot \rangle

.

Невырожденность $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ означает, что указанное выше отображение является изоморфизмом.

Пример: где $V=\mathbb {R} ^{n}$ , и $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является скалярным произведением .

Музыкальные изоморфизмы являются глобальной версией этого изоморфизма и его обратным для касательного и кокасательного расслоений (псевдо)риманова многообразия. $(M,g)$ . Это канонические изоморфизмы векторных расслоений , которые в любой точке $p$ представляют собой вышеуказанный изоморфизм, примененный к касательному пространству M $в$ точке $p,$ наделенному скалярным произведением $g_{p}$ .

Поскольку каждое паракомпактное многообразие может быть (неканонически) наделено римановой метрикой, музыкальные изоморфизмы показывают, что векторное расслоение на паракомпактном многообразии (неканонически) изоморфно своему двойственному многообразию.

Обсуждение

Пусть $(M, g)$ — (псевдо)риманово многообразие. В каждой точке $p$ отображение $g p$ является невырожденной билинейной формой в касательном пространстве $T p M$ . Если $v$ — вектор из $T p M$ , его плоскостью является ковектор

v^{\flat }=g_{p}(v,\cdot )

в $Т * п М.$ Поскольку это гладкое отображение, сохраняющее точку $p$ , оно определяет морфизм гладких векторных расслоений $\flat :\mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M$ . Ввиду невырожденности метрики $\flat$ имеет обратную $\sharp$ в каждой точке, характеризующейся

g_{p}(\alpha ^{\sharp },v)=\alpha (v)

для $α$ в $T * p M$ и $v$ в $T p M$ . Вектор $\alpha ^{\sharp }$ называется диезом α $$ . Резкая карта — это гладкая карта расслоения. $\sharp :\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M$ .

Плоский и острый являются взаимно обратными изоморфизмами гладких векторных расслоений, следовательно, для каждого $p$ в $M$ существуют взаимно обратные изоморфизмы векторного пространства между $T p M$ и $T * п М.$

Плоские и четкие карты можно применять к векторным и ковекторным полям , применяя их к каждой точке. Следовательно, если $X$ — векторное поле, а $ω$ — ковекторное поле,

X^{\flat }=g(X,\cdot )

и

g(\omega ^{\sharp },X)=\omega (X)

.

В движущемся кадре

Предположим, что ${e i}$ — движущаяся касательная рамка (см. также гладкая рамка ) для касательного расслоения $TM движущаяся касательная$ с, в качестве двойственной рамки (см. также двойственный базис ), движущейся косистемой ( рамка для кокасательного расслоения) $\mathrm {T} ^{*}M$ ; см. также кофрейм ) ${e я}$ . Тогда псевдориманова метрика , которая представляет собой симметричное и невырожденное $2$ -ковариантное тензорное поле может быть локально записана в терминах этого кофрейма как $g = gij, e я \otimes и дж$ используя обозначение суммирования Эйнштейна .

Учитывая векторное поле $X = X я e i$ и обозначив $g ij X я = X j$ , его плоскость

X^{\flat }=g_{ij}X^{i}\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\mathbf {e} ^{j}

.

Это называется понижением индекса .

Аналогично, если задано ковекторное поле $ω = ω i e я$ и обозначив $g ij ω я = ω дж$ , он острый

\omega ^{\sharp }=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j}

где $г ij$ являются компонентами обратного метрического тензора (задаваемого элементами обратной матрицы к $g ij$ ). Повышение остроты ковекторного поля называется повышением индекса .

Расширение для тензорных произведений

Музыкальные изоморфизмы можно распространить и на расслоения $\bigotimes ^{k}{\rm {T}}M,\qquad \bigotimes ^{k}{\rm {T}}^{*}M.$

Необходимо указать, какой индекс необходимо повысить или понизить. Например, рассмотрим (0, 2) -тензорное поле $X = X ij e я \otimes и дж$ . Поднимая второй индекс, получаем (1, 1) -тензорное поле $X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.$

Расширение до k -векторов и k -форм

В контексте внешней алгебры расширение музыкальных операторов может быть определено на $⋀ V$ и его двойственном $⋀ * V$ , которые с небольшим злоупотреблением обозначениями могут обозначаться одинаково и снова являются взаимно обратными: ^[3] $\flat :{\bigwedge }V\to {\bigwedge }^{*}V,\qquad \sharp :{\bigwedge }^{*}V\to {\bigwedge }V,$ определяется $(X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },\qquad (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.$

В этом расширении, в котором $♭$ отображает p -векторы в p -ковекторы и $♯$ отображает p -ковекторы в p -векторы, все индексы полностью антисимметричного тензора одновременно повышаются или понижаются, поэтому индекс указывать не нужно: $Y^{\sharp }=(Y_{i\dots k}\mathbf {e} ^{i}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{k})^{\sharp }=g^{ir}\dots g^{kt}\,Y_{i\dots k}\,\mathbf {e} _{r}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{t}.$

Векторные пакеты с метриками пакетов

В более общем смысле, музыкальные изоморфизмы всегда существуют между векторным расслоением, наделенным метрикой расслоения , и двойственным ему расслоением.

След тензора через метрический тензор

типа (0, 2) Учитывая тензорное поле $X = X ij e я \otimes и дж$ , мы определяем след $X$ через метрический тензор $g$ формулой $\operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij}\,{\bf {e}}^{i}\otimes {\bf {e}}_{k})=g^{ij}X_{ij}.$

Обратите внимание, что определение следа не зависит от выбора индекса, который нужно повысить, поскольку метрический тензор симметричен.

См. также

Цитаты

^ Ли 2003 , Глава 11.
^ Ли 1997 , Глава 3.
^ Ваз и да Роча 2016 , с. 48, 50.

Ссылки

Ли, Дж. М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 218. ИСБН 0-387-95448-1 .
Ли, Дж. М. (1997). Римановы многообразия – введение в кривизну . Тексты для выпускников Springer по математике. Том. 176. Шпрингер Верлаг. ISBN 978-0-387-98322-6 .
Ваз, Джейме; да Роша, Ролдан (2016). Введение в алгебры и спиноры Клиффорда . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-878-292-6 .

[FOOTNOTELee2003Chapter_11-1] Ли 2003 , Глава 11.

[FOOTNOTELee1997Chapter_3-2] Ли 1997 , Глава 3.

[FOOTNOTEVazda_Rocha2016pp._48,_50-3] Ваз и да Роча 2016 , с. 48, 50.

[1]

[2]

[3]

v т и Риманова геометрия ( Глоссарий )
Basic concepts	Curvature tensor Scalar Ricci Sectional Exponential map Geodesic Inner product Metric tensor Levi-Civita connection Covariant derivative Signature Raising and lowering indices/Musical isomorphism Parallel transport Riemannian manifold Pseudo-Riemannian manifold Riemannian volume form
Types of manifolds	Hermitian Hyperbolic Kähler Kenmotsu
Main results	Fundamental theorem of Riemannian geometry Gauss's lemma Gauss–Bonnet theorem Hopf–Rinow theorem Nash embedding theorem Ricci flow Schur's lemma
Generalizations	Finsler Hilbert Sub-Riemannian
Applications	General relativity Geometrization conjecture Poincaré conjecture Uniformization theorem