Аффинный пакет

В математике аффинное расслоение — это расслоение , типичные слои, морфизмы тривиализации и функции перехода которого являются аффинными.

Формальное определение

Позволять ${\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X$ быть векторным расслоением с типичным слоем векторным пространством ${\overline {F}}$. Аффинное расслоение , смоделированное на векторном расслоении ${\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X$ представляет собой пучок волокон $\pi :Y\to X$ чье типичное волокно $F$ представляет собой аффинное пространство, смоделированное по ${\overline {F}}$ так, чтобы выполнялись следующие условия:

(i) Каждое волокно $Y_{x}$ из $Y$ представляет собой аффинное пространство, смоделированное по соответствующим слоям ${\overline {Y}}_{x}$ векторного расслоения ${\overline {Y}}$.

(ii) Существует атлас аффинных расслоений $Y\to X$ морфизмы локальных тривиализаций и функции перехода которых являются аффинными изоморфизмами .

Имея дело с аффинными расслоениями, используются только координаты аффинного расслоения. $(x^{\mu },y^{i})$ обладающие аффинными переходными функциями

$y'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu })y^{j}+b^{i}(x^{\nu }).$

Существуют морфизмы расслоений

$Y\times _{X}{\overline {Y}}\longrightarrow Y,\qquad (y^{i},{\overline {y}}^{i})\longmapsto y^{i}+{\overline {y}}^{i},$

$Y\times _{X}Y\longrightarrow {\overline {Y}},\qquad (y^{i},y'^{i})\longmapsto y^{i}-y'^{i},$

где $({\overline {y}}^{i})$ - линейные координаты расслоения на векторном расслоении ${\overline {Y}}$, обладающий линейными переходными функциями ${\overline {y}}'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu }){\overline {y}}^{j}$.

Свойства

У аффинного расслоения есть глобальное сечение , но, в отличие от векторных расслоений, у аффинного расслоения нет канонического глобального сечения. Позволять $\pi :Y\to X$ быть аффинным расслоением, смоделированным на векторном расслоении ${\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X$. Каждый глобальный раздел $s$ аффинного расслоения $Y\to X$ дает морфизмы расслоений

$Y\ni y\to y-s(\pi (y))\in {\overline {Y}},\qquad {\overline {Y}}\ni {\overline {y}}\to s(\pi (y))+{\overline {y}}\in Y.$

В частности, каждое векторное расслоение $Y$ имеет естественную структуру аффинного расслоения благодаря этим морфизмам, где $s=0$ — каноническое нулевое сечение $Y$. Например, касательное расслоение $TX$ многообразия $X$ естественно, является аффинным расслоением.

Аффинный пакет $Y\to X$ представляет собой расслоение с общей аффинной структурной группой $GA(m,\mathbb {R} )$ аффинных преобразований его типичного волокна $V$ размера $m$. Эта структурная группа всегда сводится к общей линейной группе. $GL(m,\mathbb {R} )$, т. е. аффинное расслоение допускает атлас с линейными функциями перехода.

Морфизмом аффинных расслоений называется морфизм расслоения $\Phi :Y\to Y'$ ограничение которого на каждое волокно $Y$является аффинным отображением. Любой морфизм аффинного расслоения $\Phi :Y\to Y'$ аффинного расслоения $Y$ смоделировано на векторном расслоении ${\overline {Y}}$ к аффинному расслоению $Y'$ смоделировано на векторном расслоении ${\overline {Y}}'$ дает уникальный морфизм линейного расслоения

${\overline {\Phi }}:{\overline {Y}}\to {\overline {Y}}',\qquad {\overline {y}}'^{i}={\frac {\partial \Phi ^{i}}{\partial y^{j}}}{\overline {y}}^{j},$

называется линейной производной $\Phi$.

См. также

• Пучок волокон
• Волокнистый коллектор
• Векторный пакет
• Аффинное пространство

Ссылки

• С. Кобаяши, К. Номидзу, Основы дифференциальной геометрии , Vols. 1 и 2, Wiley-Interscience, 1996 г., ISBN   0-471-15733-3 .
• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Январь (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. , получено 28 мая 2013 г.
• Сарданашвили Г. Расширенная дифференциальная геометрия для теоретиков. Расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN   978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886 .
• Сондерс, ди-джей (1989), Геометрия реактивных пучков , Cambridge University Press, ISBN  0-521-36948-7