Метрическое соединение

«Совместимость с метрикой» перенаправляется сюда. Сведения о шрифтах одинакового размера см. в разделе «метрически совместимые» .

В математике метрическая связность — это связность в векторном расслоении E, снабженная метрикой расслоения ; то есть метрика, для которой внутренний продукт любых двух векторов останется неизменным, когда эти векторы параллельно транспортируются вдоль любой кривой. Это эквивалентно:

• Связность, для которой ковариантные производные метрики на E обращаются в нуль.
• Основная связность на расслоении ортонормированных E реперов .

Частным случаем метрической связности является риманова связность ; существует единственное такое соединение без кручения — соединение Леви-Чивита . В этом случае расслоение E является касательным расслоением TM многообразия, а метрика на E индуцируется римановой метрикой на M .

Другим частным случаем метрической связи является связь Янга–Миллса , которая удовлетворяет Янга–Миллса уравнениям движения . Большую часть механизмов определения соединения и его кривизны можно реализовать, не требуя какой-либо совместимости с метрикой пакета. Однако, если требуется совместимость, эта метрическая связь определяет внутренний продукт, звезду Ходжа (которая дополнительно требует выбора ориентации) и лапласиан , которые необходимы для формулировки уравнений Янга – Миллса.

Определение

Позволять $\sigma ,\tau$ — любые локальные сечения векторного расслоения E и пусть X — векторное поле в базисном пространстве M расслоения. Позволять $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ определить метрику расслоения , то есть метрику на векторных слоях E . Тогда соединение D на E является метрическим соединением, если:

$d\langle \sigma ,\tau \rangle =\langle D\sigma ,\tau \rangle +\langle \sigma ,D\tau \rangle .$

Здесь d — обыкновенный дифференциал скалярной функции. Ковариантную производную можно расширить так, чтобы она действовала как отображение E -значных дифференциальных форм в базовом пространстве:

$D:\Gamma (E)\otimes \Omega ^{p}(M)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{p+1}(M).$

Один определяет $D_{X}f=d_{X}f\equiv Xf$ для функции $f\in \Omega ^{0}(M)$, и

$D(\sigma \otimes \omega )=D\sigma \wedge \omega +\sigma \otimes d\omega$

где $\sigma \in \Gamma (E)$ является локальным гладким сечением векторного расслоения и $\omega \in \Omega ^{p}(M)$ является (скалярнозначной) p -формой. Приведенные выше определения также применимы к локальным гладким каркасам, а также к локальным сечениям.

Метрическое и двойное сопряжение

Метрика пакета $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ наложенное на E, не следует путать с естественным спариванием $(\cdot ,\cdot )$ векторного пространства и его двойственного, что присуще любому векторному расслоению. Последняя является функцией на расслоении эндоморфизмов ${\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*},$ так что

$(\cdot ,\cdot ):E\otimes E^{*}\to M\times \mathbb {R}$

пары векторов с двойственными векторами (функционалами) над каждой точкой M . То есть, если $\{e_{i}\}$ — любая локальная система координат на E , то естественным образом получается двойственная система координат $\{e_{i}^{*}\}$ на Е *удовлетворительно $(e_{i},e_{j}^{*})=\delta _{ij}$.

Напротив, метрика пакета $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ это функция на $E\otimes E,$

$\langle \cdot ,\cdot \rangle :E\otimes E\to M\times \mathbb {R}$

дающий внутренний продукт на каждом слое векторного пространства E . Метрика расслоения позволяет определить ортонормированную систему координат уравнением $\langle e_{i},e_{j}\rangle =\delta _{ij}.$

Учитывая векторное расслоение, всегда можно определить на нем метрику расслоения.

Следуя стандартной практике, можно определить форму связности , символы Кристоффеля и кривизну Римана без обращения к метрике расслоения, используя только спаривание $(\cdot ,\cdot ).$ Они будут подчиняться обычным свойствам симметрии; например, тензор кривизны будет антисимметричен по двум последним индексам и будет удовлетворять второму тождеству Бьянки . Однако для определения звезды Ходжа , лапласиана , первого тождества Бьянки и функционала Янга–Миллса необходима метрика расслоения. Звезде Ходжа дополнительно требуется выбор ориентации, и она дает двойник Ходжа своему аргументу.

Форма подключения

Основная статья: Форма подключения

Учитывая локальную диаграмму расслоения , ковариантную производную можно записать в виде

$D=d+A$

где А — одноформа связи .

Немного нотационной техники в порядке. Позволять $\Gamma (E)$ обозначим пространство дифференцируемых сечений на E , пусть $\Omega ^{p}(M)$ обозначим пространство p -форм на M и пусть ${\mbox{End}}(E)=E\otimes E^{*}$ — эндоморфизмы на E . Ковариантная производная, как она определена здесь, представляет собой отображение

$D:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{1}(M)$

Форму связи можно выразить через коэффициенты связи как

$A_{j}{}^{k}\ =\ \Gamma ^{k}{}_{ij}\,dx^{i}.$

Цель обозначений состоит в том, чтобы отличить индексы j , k , которые пробегают n измерений слоя, от индекса i , который пробегает m -мерное базовое пространство. В приведенном ниже случае римановой связности векторное пространство E считается касательным расслоением TM и n = m .

Обозначение А для формы соединения пришло из физики , в исторической ссылке на векторное потенциальное поле электромагнетизма теории и калибровочной . В математике обозначение $\omega$ часто используется вместо А , как в статье о форме соединения ; к сожалению, использование $\omega$ форма подключения конфликтует с использованием $\omega$ для обозначения общей знакопеременной формы векторного расслоения.

Косая симметрия

Связность кососимметрична по индексам векторного пространства (слоя); то есть для данного векторного поля $X\in TM$, матрица $A(X)$ является кососимметричным; эквивалентно, это элемент алгебры Ли ${\mathfrak {o}}(n)$.

Это можно увидеть следующим образом. Пусть слой n -мерен, так что расслоению E можно задать ортонормированный локальный репер $\{e_{i}\}$ с i = 1, 2, ..., n . Тогда по определению имеем, что $de_{i}\equiv 0$, так что:

$De_{i}=Ae_{i}=A_{i}{}^{j}e_{j}.$

Кроме того, для каждой точки $x\in U\subset M$ диаграммы расслоения локальная система координат ортонормирована:

$\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle =\delta _{ij}.$

Отсюда следует, что для каждого вектора $X\in T_{x}M$, что

${\begin{aligned}0&=X\langle e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle \\&=\langle A(X)e_{i}(x),e_{j}(x)\rangle +\langle e_{i}(x),A(X)e_{j}(x)\rangle \\&=A_{i}{}^{j}(X)+A_{j}{}^{i}(X)\\\end{aligned}}$

То есть, $A=-A^{\text{T}}$ является кососимметричным.

Это достигается путем явного использования метрики пакета; не используя этого, а используя только спаривание $(\cdot ,\cdot )$, можно связать форму связности A на E только с ее двойственным A ^∗ это Е ^∗ , как $A^{*}=-A^{\text{T}}.$ Это следует из определения двойственной связи как $d(\sigma ,\tau ^{*})=(D\sigma ,\tau ^{*})+(\sigma ,D^{*}\tau ^{*}).$

Кривизна

Существует несколько обозначений кривизны соединения, в том числе современное, использующее F для обозначения тензора напряженности поля , классическое, использующее R в качестве тензора кривизны , и классическое обозначение тензора кривизны Римана , большинство из которых могут естественным образом распространяется на случай векторных расслоений. Ни одно из этих определений не требует ни метрического тензора, ни метрики расслоения и может быть определено совершенно конкретно без ссылки на них. Однако определения требуют четкого представления об эндоморфизмах E , как описано выше.

Компактный стиль

Наиболее компактное определение кривизны F — это определить ее как 2-форму, принимающую значения в ${\mbox{End}}(E)$, определяемый величиной, на которую соединение не является точным; то есть как

$F=D\circ D$

который является элементом

$F\in \Omega ^{2}(M)\otimes {\mbox{End}}(E),$

или эквивалентно,

$F:\Gamma (E)\to \Gamma (E)\otimes \Omega ^{2}(M)$

Чтобы связать это с другими распространенными определениями и обозначениями, позвольте $\sigma \in \Gamma (E)$ разделом на E. быть Вставляя в вышеизложенное и расширяя, находим

$F\sigma =(D\circ D)\sigma =(d+A)\circ (d+A)\sigma =(dA+A\wedge A)\sigma$

или, что то же самое, удаление раздела

$F=dA+A\wedge A$

как краткое определение.

Стиль компонента

В терминах компонентов пусть $A=A_{i}dx^{i},$ где $dx^{i}$ – стандартные одноформовые координатные базы на кокасательном расслоении T ^* М. ​Вставляя в вышеизложенное и расширяя, получаем (используя соглашение о суммировании ):

$F={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial A_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{j}}}+[A_{i},A_{j}]\right)dx^{i}\wedge dx^{j}.$

Имейте в виду, что для n -мерного векторного пространства каждое $A_{i}$ представляет собой матрицу размера n × n , индексы которой были подавлены, тогда как индексы i и j пробегают 1,..., m , где m является размерностью базового многообразия. Оба этих индекса могут проявляться одновременно, как показано в следующем разделе.

Представленные здесь обозначения обычно используются в физике; например, его можно сразу узнать как тензор напряженности глюонного поля . В абелевом случае n = 1 и векторное расслоение одномерно; коммутатор исчезает, и вышеуказанное можно затем признать электромагнитным тензором в более или менее стандартных физических обозначениях.

Стиль относительности

Все индексы можно сделать явными, предоставив гладкую структуру. $\{e_{i}\}$, i = 1, ..., n на $\Gamma (E)$. Данный раздел $\sigma \in \Gamma (E)$ тогда можно записать как

$\sigma =\sigma ^{i}e_{i}$

В этом локальном фрейме форма соединения становится

$(A_{i}dx^{i})_{j}{}^{k}=\Gamma ^{k}{}_{ij}dx^{i}$

с $\Gamma ^{k}{}_{ij}$ являющийся символом Кристоффеля ; опять же, индекс i пробегает 1,..., m (размерность основного многообразия M ), тогда как j и k пробегают 1,..., n , размерность слоя. Вставив и повернув рукоятку, получим

${\begin{aligned}F\sigma &={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{jr}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial \Gamma ^{k}{}_{ir}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{k}{}_{is}\Gamma ^{s}{}_{jr}-\Gamma ^{k}{}_{js}\Gamma ^{s}{}_{ir}\right)\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\&=R^{k}{}_{rij}\sigma ^{r}dx^{i}\wedge dx^{j}\otimes e_{k}\\\end{aligned}}$

где $R^{k}{}_{rij}$ теперь идентифицируемый как тензор кривизны Римана . Это написано в стиле, обычно используемом во многих учебниках по общей теории относительности середины 20-го века (за несколькими заметными исключениями, такими как MTW , который на ранних этапах настаивал на безиндексной системе обозначений). Опять же, индексы i и j охватывают размеры многообразия M , а r и k — размерность слоев.

Стиль касательного пучка

Вышеуказанное можно перенести обратно в стиль векторного поля, написав $\partial /\partial x^{i}$ в качестве стандартных базисных элементов касательного расслоения TM . Затем определяется тензор кривизны как

$R\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\sigma =\sigma ^{r}R_{\;rij}^{k}e_{k}$

так что пространственные направления повторно поглощаются, что приводит к обозначению

$F\sigma =R(\cdot ,\cdot )\sigma$

Альтернативно, пространственные направления можно сделать явными, скрывая индексы, записав выражения в терминах векторных полей X и Y на TM . В стандартном базисе X равен

$X=X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

самое для Y. и то же После небольшого включения и пыхтения можно получить

$R(X,Y)\sigma =D_{X}D_{Y}\sigma -D_{Y}D_{X}\sigma -D_{[X,Y]}\sigma$

где

$[X,Y]={\mathcal {L}}_{Y}X$

является производной Ли векторного поля Y относительно X .

Напомним, что тензор кривизны отображает волокна в волокна:

$R(X,Y):\Gamma (E)\to \Gamma (E)$

так что

$R(\cdot ,\cdot ):\Omega ^{2}(M)\otimes \Gamma (E)\to \Gamma (E)$

Чтобы быть очень ясным, $F=R(\cdot ,\cdot )$ являются альтернативными обозначениями одного и того же. Обратите внимание, что ни одна из вышеперечисленных манипуляций никогда не требовала прохождения метрики пакета. Можно также продемонстрировать вторую идентичность Бьянки.

$DF=0$

без необходимости использования метрики пакета.

Связь Янга-Миллса

Основная статья: уравнения Янга – Миллса

Приведенное выше развитие тензора кривизны не содержало никаких обращений к метрике расслоения. То есть им не нужно было предполагать, что D или A были метрическими связностями: для получения вышеуказанных форм достаточно просто иметь связность на векторном расслоении. Все различные варианты обозначений непосредственно следуют только из рассмотрения эндоморфизмов слоев расслоения.

Метрика расслоения необходима для определения звезды Ходжа и двойственной звезды Ходжа ; это необходимо, в свою очередь, для определения лапласиана и демонстрации того, что

$D{\star }F=0$

Любое соединение, удовлетворяющее этому тождеству, называется соединением Янга-Миллса . Можно показать, что эта связь является критической точкой уравнений Эйлера–Лагранжа, применяемых к действию Янга–Миллса.

$YM_{D}=\int _{M}(F,F){\star }(1)$

где ${\star }(1)$ — элемент объема , двойственный по Ходжу константе 1. Обратите внимание, что для построения этого действия требуются три различных скалярных произведения: метрическая связность на E , скалярный продукт на End( E ), эквивалентный квадратичному оператору Казимира (след пары матриц) и двойственность Ходжа.

Риманова связь

Важным частным случаем метрической связности является риманова связность . Это связь $\nabla$ на касательном расслоении псевдориманова многообразия ( M , g ) такого, что $\nabla _{X}g=0$ для всех векторных полей X на M . Эквивалентно, $\nabla$ является римановым, если определяемый им параллельный транспорт сохраняет метрику g .

Данное соединение $\nabla$ является римановым тогда и только тогда, когда

$\partial _{X}(g(Y,Z))=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)$

для всех векторных полей X , Y и Z на M , где $\partial _{X}(g(Y,Z))$ обозначает производную функции $g(Y,Z)$ вдоль этого векторного поля $X$.

Связность Леви-Чивита — это риманова связность без кручения на многообразии. Оно уникально согласно основной теореме римановой геометрии . Для каждой римановой связности можно написать (уникальную) соответствующую связность Леви-Чивита. Разница между ними определяется тензором искривления .

В обозначениях компонентов ковариантная производная $\nabla$ совместим с метрическим тензором $g_{ab}$ если

$\nabla _{\!c}\,g_{ab}=0.$

Хотя могут быть определены и другие ковариантные производные, обычно рассматривают только метрически-совместимую производную. Это связано с тем, что при наличии двух ковариантных производных $\nabla$ и $\nabla '$, существует тензор преобразования одного в другое:

$\nabla _{a}x_{b}=\nabla _{a}'x_{b}-{C_{ab}}^{c}x_{c}.$

Если пространство также не имеет кручения , то тензор ${C_{ab}}^{c}$ симметричен по своим первым двум индексам.

Несколько слов об обозначениях

принято менять обозначения и использовать символ набла ∇ вместо D В этом случае ; в остальном это одно и то же. То есть ∇ = D из предыдущих разделов выше.

Аналогично, внутренний продукт $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ на E заменяется метрическим тензором g на TM . Это согласуется с историческим обычаем, но также позволяет избежать путаницы: для общего случая векторного расслоения E базовое многообразие M не предполагается, что наделено метрикой. Частный случай многообразий с метрикой g на TM в дополнение к метрике расслоения $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ на E приводит к теории Калуцы–Клейна .

См. также

• Вертикальные и горизонтальные пучки

Ссылки

• Родригес, Вашингтон; Фернандес, В.В.; Мойя, AM (2005). «Метрические совместимые ковариантные производные». arXiv : math/0501561 .
• Уолд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности , Издательство Чикагского университета, ISBN  0-226-87033-2
• Шмидт, Б.Г. (1973). «Условия, при которых соединение является метрическим» . Коммун. Математика. Физ . 29 (1): 55–59. Бибкод : 1973CMaPh..29...55S . дои : 10.1007/bf01661152 . hdl : 10338.dmlcz/127117 . S2CID   121543450 .