Кривизна римановых многообразий

Более элементарное обсуждение см. в разделе «Кривизна пространства» .

Слева направо: поверхность отрицательной гауссовой кривизны ( гиперболоид ), поверхность нулевой гауссовой кривизны ( цилиндр ) и поверхность положительной гауссовой кривизны ( сфера ). В более высоких измерениях многообразие может иметь разную кривизну в разных направлениях, что описывается тензором кривизны Римана .

В математике , особенно в дифференциальной геометрии , бесконечно малая геометрия римановых многообразий с размерностью больше 2 слишком сложна, чтобы ее можно было описать одним числом в данной точке. Риман ввел абстрактный и строгий способ определения кривизны этих многообразий, известный теперь как тензор кривизны Римана . Подобные представления повсеместно нашли применение в дифференциальной геометрии поверхностей и других объектов.Кривизну можно псевдориманова многообразия выразить таким же образом с небольшими изменениями.

Способы выражения кривизны риманова многообразия

Тензор кривизны Римана

Основная статья: тензор кривизны Римана

Кривизну риманова многообразия можно описать по-разному; наиболее стандартным из них является тензор кривизны, заданный в терминах связи Леви-Чивита (или ковариантного дифференцирования ) $\nabla$ и скобка Лия $[\cdot ,\cdot ]$ по следующей формуле:

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.$

Здесь $R(u,v)$ — линейное преобразование касательного пространства многообразия; оно линейно по каждому аргументу.Если $u=\partial /\partial x_{i}$ и $v=\partial /\partial x_{j}$ являются координатными векторными полями, тогда $[u,v]=0$ и поэтому формула упрощается до

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w$

т.е. тензор кривизны измеряет некоммутативность ковариантной производной .

Линейное преобразование $w\mapsto R(u,v)w$ также называется преобразованием кривизны или эндоморфизмом .

NB. Есть несколько книг, в которых тензор кривизны определен с противоположным знаком.

Симметрии и тождества

Тензор кривизны имеет следующие симметрии:

$R(u,v)=-R(v,u)_{}^{}$

$\langle R(u,v)w,z\rangle =-\langle R(u,v)z,w\rangle _{}^{}$

$R(u,v)w+R(v,w)u+R(w,u)v=0_{}^{}$

Последнее тождество было обнаружено Риччи , но его часто называют первым тождеством Бьянки , просто потому, что оно похоже на тождество Бьянки ниже. К первым двум следует относиться как к антисимметрии и свойству алгебры Ли соответственно, поскольку второе означает, что R ( u , v ) для всех u , v являются элементами псевдоортогональной алгебры Ли. Все три вместе следует назвать структурой псевдоортогональной кривизны . Они порождают тензор только посредством отождествлений с объектами тензорной алгебры — но также существуют отождествления с понятиями в алгебре Клиффорда. Отметим, что эти три аксиомы кривизны структуры порождают хорошо развитую теорию структуры, сформулированную в терминах проекторов (проектор Вейля, порождающий кривизну Вейля , и проектор Эйнштейна, необходимый для постановки эйнштейновских гравитационных уравнений ). Эта структурная теория совместима с действием псевдоортогональных групп плюс расширений . Она тесно связана с теорией Группы и алгебры Ли, тройки Ли и йордановые алгебры. Посмотрите ссылки, данные в обсуждении.

Три тождества образуют полный список симметрий тензора кривизны, т.е. для любого тензора, удовлетворяющего приведенным выше тождествам, можно найти риманово многообразие с таким тензором кривизны в некоторой точке. Простые расчеты показывают, что такой тензор имеет $n^{2}(n^{2}-1)/12$ независимые компоненты.Из этих трех следует еще одно полезное тождество:

$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}$

Личность Бьянки (часто вторая личность Бьянки )включает ковариантные производные:

$\nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0$

Секционная кривизна

Основная статья: Кривизна сечения

Секционная кривизна — это дальнейшее, эквивалентное, но более геометрическое описание кривизны римановых многообразий. Это функция $K(\sigma )$ это зависит от раздела $\sigma$ (т.е. 2-плоскость в касательных пространствах). Это Гаусса кривизна $\sigma$- раздел на п ; здесь $\sigma$- сечение – локально определенный участок поверхности, имеющий плоскость $\sigma$ как касательная плоскость в точке p , полученная из геодезических, начинающихся в точке p в направлениях изображения $\sigma$ под экспоненциальным отображением в точке p .

Если $v,u$ два линейно независимых вектора в $\sigma$ затем

$K(\sigma )=K(u,v)/|u\wedge v|^{2}{\text{ where }}K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle$

Следующая формула показывает, что секционная кривизна полностью описывает тензор кривизны:

$6\langle R(u,v)w,z\rangle =_{}^{}$

$[K(u+z,v+w)-K(u+z,v)-K(u+z,w)-K(u,v+w)-K(z,v+w)+K(u,w)+K(v,z)]-_{}^{}$

$[K(u+w,v+z)-K(u+w,v)-K(u+w,z)-K(u,v+z)-K(w,v+z)+K(v,w)+K(u,z)]._{}^{}$

Или в более простой формуле:

$$\langle R(u,v)w,z\rangle ={\frac {1}{6}}\left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\partial t}}\left(K(u+sz,v+tw)-K(u+sw,v+tz)\right)\right|_{(s,t)=(0,0)}$$

Форма кривизны

Основная статья: Форма кривизны

Форма соединения дает альтернативный способ описания кривизны. Он используется больше для общих векторных расслоений , и для главных расслоений , но так же хорошо работает и для касательного расслоения со связностью Леви-Чивита . Кривизна n -мерного риманова многообразия задается антисимметричной размера n × n. матрицей $\Omega _{}^{}=\Omega _{\ j}^{i}$ ( 2-форм или, что эквивалентно, 2-формы со значениями в $\operatorname {so} (n)$, алгебра Ли ортогональной группы $\operatorname {O} (n)$, которая является структурной группой касательного расслоения риманова многообразия).

Позволять $e_{i}$ — локальное сечение ортонормированных базисов. Тогда можно определить форму связности - антисимметричную матрицу 1-форм. $\omega =\omega _{\ j}^{i}$ которые удовлетворяют следующему тождеству

$\omega _{\ j}^{k}(e_{i})=\langle \nabla _{e_{i}}e_{j},e_{k}\rangle$

Тогда форма кривизны $\Omega =\Omega _{\ j}^{i}$ определяется

$\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$.

Обратите внимание, что выражение « $\omega \wedge \omega$" — это сокращение от $\omega _{\ j}^{i}\wedge \omega _{\ k}^{j}$ и, следовательно, не обязательно исчезает. Ниже описывается связь между формой кривизны и тензором кривизны:

$R(u,v)w=\Omega (u\wedge v)w.$

Этот подход строит все симметрии тензора кривизны, кроме первого тождества Бьянки , которое принимает форму

$\Omega \wedge \theta =0$

где $\theta =\theta ^{i}$ является n -вектором 1-форм, определяемым формулой $\theta ^{i}(v)=\langle e_{i},v\rangle$.Вторая идентичность Бьянки обретает форму

$D\Omega =0$

D обозначает внешнюю ковариантную производную

Оператор кривизны

Иногда удобно думать о кривизне как об операторе $Q$ на касательных бивекторах (элементах $\Lambda ^{2}(T)$), который однозначно определяется следующим тождеством:

$\langle Q(u\wedge v),w\wedge z\rangle =\langle R(u,v)z,w\rangle .$

Сделать это возможно именно благодаря симметрии тензора кривизны (а именно антисимметрии в первой и последней парах индексов и блочной симметрии этих пар).

Дальнейшие тензоры кривизны

В общем случае следующие тензоры и функции не описывают полностью тензор кривизны: однако они играют важную роль.

Скалярная кривизна

Основная статья: Скалярная кривизна

Скалярная кривизна - это функция на любом римановом многообразии, обозначаемая по-разному через $S,R$ или ${\text{Sc}}$. Это полный след тензора кривизны; с учетом ортонормированного базиса $\{e_{i}\}$ в касательном пространстве в точке

у нас есть

$S=\sum _{i,j}\langle R(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i}\rangle =\sum _{i}\langle {\text{Ric}}(e_{i}),e_{i}\rangle ,$

где ${\text{Ric}}$ обозначает тензор Риччи . Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. Начиная с размерности 3, скалярная кривизна не полностью описывает тензор кривизны.

Фигурные кривые

Основная статья: кривизна Риччи

Кривизна Риччи — это линейный оператор в касательном пространстве в точке, обычно обозначаемый ${\text{Ric}}$. Учитывая ортонормированный базис $\{e_{i}\}$ в касательном пространстве в точке p имеем

${\text{Ric}}(u)=\sum _{i}R(u,e_{i})e_{i}._{}^{}$

Результат не зависит от выбора ортонормированного базиса. При четырех или более измерениях кривизна Риччи не полностью описывает тензор кривизны.

Явные выражения для тензора Риччи в терминах связи Леви-Чивита приведены в статье о символах Кристоффеля .

Тензор кривизны Вейля

Основная статья: тензор Вейля

Тензор кривизны Вейля имеет те же симметрии, что и тензор кривизны Римана, но с одним дополнительным ограничением: его след (который используется для определения кривизны Риччи) должен исчезать.

Тензор Вейля инвариантен относительно конформной замены метрики: если две метрики связаны соотношением ${\tilde {g}}=fg$ для некоторой положительной скалярной функции $f$, затем ${\tilde {W}}=W$.

В измерениях 2 и 3 тензор Вейля исчезает, но в измерениях 4 и более тензор Вейля может быть отличен от нуля. Для многообразия постоянной кривизны тензор Вейля равен нулю. Более того, $W=0$ тогда и только тогда, когда метрика локально конформна евклидовой метрике .

Разложение Риччи

Основная статья: разложение Риччи

Хотя по отдельности тензор Вейля и тензор Риччи, как правило, не определяют тензор полной кривизны, тензор кривизны Римана можно разложить на часть Вейля и часть Риччи. Это разложение известно как разложение Риччи и играет важную роль в конформной геометрии римановых многообразий. В частности, его можно использовать, чтобы показать, что если метрику масштабировать с помощью конформного коэффициента $e^{2f}$, то тензор кривизны Римана изменится на (рассматриваемый как (0, 4)-тензор):

$e^{2f}\left(R+\left({\text{Hess}}(f)-df\otimes df+{\frac {1}{2}}\|{\text{grad}}(f)\|^{2}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right)$

где ${~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}$ обозначает произведение Кулкарни-Номизу , а Гесс - гессиан.

Расчет кривизны

Для расчета кривизны

• гиперповерхностей и подмногообразий см. вторую фундаментальную форму ,
• в координатах см. список формул римановой геометрии или ковариантной производной ,
• при перемещении рамок см. связь Картана и форму кривизны .
• уравнение Якоби может помочь, если кто-то знает что-то о поведении геодезических линий .

Ссылки

• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Том. 1 (Новое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN  0-471-15733-3 .
• Вудс, Ф.С. (1901). «Пространство постоянной кривизны». Анналы математики . 3 (1/4): 71–112. дои : 10.2307/1967636 . JSTOR   1967636 .