Список формул римановой геометрии

Это список формул, встречающихся в римановой геометрии . обозначения Эйнштейна На протяжении всей статьи используются . В этой статье используется соглашение о знаках «аналитика» для лапласианов, если не указано иное.

Кристоффеля,

На гладкой координатной карте первого символы Кристоффеля рода имеют вид

$\Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}g_{ki}+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}g_{kj}-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}g_{ij}\right)={\frac {1}{2}}\left(g_{ki,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}\right)\,,$

и символы Кристоффеля второго рода

${\begin{aligned}\Gamma ^{m}{}_{ij}&=g^{mk}\Gamma _{kij}\\&={\frac {1}{2}}\,g^{mk}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}g_{ki}+{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}g_{kj}-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}g_{ij}\right)={\frac {1}{2}}\,g^{mk}\left(g_{ki,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}\right)\,.\end{aligned}}$

Здесь $g^{ij}$ - обратная матрица метрическому тензору $g_{ij}$. Другими словами,

$\delta ^{i}{}_{j}=g^{ik}g_{kj}$

и таким образом

$n=\delta ^{i}{}_{i}=g^{i}{}_{i}=g^{ij}g_{ij}$

есть размерность многообразия .

Символы Кристоффеля удовлетворяют соотношениям симметрии.

$\Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}$ или, соответственно, $\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}$,

второй из которых эквивалентен безкрученности связи Леви-Чивита .

Сжимающие отношения на символах Кристоффеля задаются формулой

$\Gamma ^{i}{}_{ki}={\frac {1}{2}}g^{im}{\frac {\partial g_{im}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial \log {\sqrt {|g|}}}{\partial x^{k}}}$

и

$g^{k\ell }\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {-1}{\sqrt {|g|}}}\;{\frac {\partial \left({\sqrt {|g|}}\,g^{ik}\right)}{\partial x^{k}}}$

где | г | — абсолютное значение определителя метрического тензора $g_{ik}$. Они полезны при работе с дивергенциями и лапласианами (см. ниже).

Ковариантная производная векторного поля с компонентами $v^{i}$ дается:

$v^{i}{}_{;j}=(\nabla _{j}v)^{i}={\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{i}{}_{jk}v^{k}$

и аналогично ковариантная производная a $(0,1)$- тензорное поле с компонентами $v_{i}$ дается:

$v_{i;j}=(\nabla _{j}v)_{i}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x^{j}}}-\Gamma ^{k}{}_{ij}v_{k}$

Для $(2,0)$- тензорное поле с компонентами $v^{ij}$ это становится

$v^{ij}{}_{;k}=\nabla _{k}v^{ij}={\frac {\partial v^{ij}}{\partial x^{k}}}+\Gamma ^{i}{}_{k\ell }v^{\ell j}+\Gamma ^{j}{}_{k\ell }v^{i\ell }$

и то же самое для тензоров с большим количеством индексов.

Ковариантная производная функции (скалярная) $\phi$ это обычный дифференциал:

$\nabla _{i}\phi =\phi _{;i}=\phi _{,i}={\frac {\partial \phi }{\partial x^{i}}}$

Поскольку связность Леви-Чивита метрически совместима, ковариантные производные метрик исчезают:

$(\nabla _{k}g)_{ij}=0,\quad (\nabla _{k}g)^{ij}=0$

а также ковариантные производные определителя метрики (и элемента объема)

$\nabla _{k}{\sqrt {|g|}}=0$

Геодезический ​ $X(t)$ начиная с начала координат с начальной скоростью $v^{i}$ имеет расширение Тейлора в диаграмме:

$X(t)^{i}=tv^{i}-{\frac {t^{2}}{2}}\Gamma ^{i}{}_{jk}v^{j}v^{k}+O(t^{3})$

Тензоры кривизны

Определения

(3,1 Тензор

• ${R_{ijk}}^{l}={\frac {\partial \Gamma _{ik}^{l}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial \Gamma _{jk}^{l}}{\partial x^{i}}}+{\big (}\Gamma _{ik}^{p}\Gamma _{jp}^{l}-\Gamma _{jk}^{p}\Gamma _{ip}^{l}{\big )}$
• $R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w$

(3,1 Тензор

• ${R_{jkl}^{i}}={\frac {\partial \Gamma _{lj}^{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \Gamma _{kj}^{i}}{\partial x^{l}}}+{\big (}\Gamma _{kp}^{i}\Gamma _{lj}^{p}-\Gamma _{lp}^{i}\Gamma _{kj}^{p}{\big )}$

Кривизна Риччи

• $R_{ik}={R_{ijk}}^{j}$
• $\operatorname {Ric} (v,w)=\operatorname {tr} (u\mapsto R(u,v)w)$

Скалярная кривизна

• $R=g^{ik}R_{ik}$
• $R=\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric}$

Риччи

• $Q_{ik}=R_{ik}-{\frac {1}{n}}Rg_{ik}$
• $Q(u,v)=\operatorname {Ric} (u,v)-{\frac {1}{n}}Rg(u,v)$

(4,0)

• $R_{ijkl}={R_{ijk}}^{p}g_{pl}$
• $\operatorname {Rm} (u,v,w,x)=g{\big (}R(u,v)w,x{\big )}$

(4,0) Тензор Вейля

• $W_{ijkl}=R_{ijkl}-{\frac {1}{n(n-1)}}R{\big (}g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}{\big )}-{\frac {1}{n-2}}{\big (}Q_{ik}g_{jl}-Q_{jk}g_{il}-Q_{il}g_{jk}+Q_{jl}g_{ik}{\big )}$
• $W(u,v,w,x)=\operatorname {Rm} (u,v,w,x)-{\frac {1}{n(n-1)}}R{\big (}g(u,w)g(v,x)-g(u,x)g(v,w){\big )}-{\frac {1}{n-2}}{\big (}Q(u,w)g(v,x)-Q(v,w)g(u,x)-Q(u,x)g(v,w)+Q(v,x)g(u,w){\big )}$

Тензор Эйнштейна

• $G_{ik}=R_{ik}-{\frac {1}{2}}Rg_{ik}$
• $G(u,v)=\operatorname {Ric} (u,v)-{\frac {1}{2}}Rg(u,v)$

Личности

Основные симметрии

• ${R_{ijk}}^{l}=-{R_{jik}}^{l}$
• $R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijlk}=R_{klij}$

Тензор Вейля имеет те же основные симметрии, что и тензор Римана, но его «аналог» тензора Риччи равен нулю:

• $W_{ijkl}=-W_{jikl}=-W_{ijlk}=W_{klij}$
• $g^{il}W_{ijkl}=0$

Тензор Риччи, тензор Эйнштейна и бесследовый тензор Риччи являются симметричными 2-тензорами:

• $R_{jk}=R_{kj}$
• $G_{jk}=G_{kj}$
• $Q_{jk}=Q_{kj}$

Бьянки

• $R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0$
• $W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}=0$

Бьянки

• $\nabla _{p}R_{ijkl}+\nabla _{i}R_{jpkl}+\nabla _{j}R_{pikl}=0$
• $(\nabla _{u}\operatorname {Rm} )(v,w,x,y)+(\nabla _{v}\operatorname {Rm} )(w,u,x,y)+(\nabla _{w}\operatorname {Rm} )(u,v,x,y)=0$

вторая

• $\nabla _{j}R_{pk}-\nabla _{p}R_{jk}=-\nabla ^{l}R_{jpkl}$
• $(\nabla _{u}\operatorname {Ric} )(v,w)-(\nabla _{v}\operatorname {Ric} )(u,w)=-\operatorname {tr} _{g}{\big (}(x,y)\mapsto (\nabla _{x}\operatorname {Rm} )(u,v,w,y){\big )}$

Дважды заключенный контракт,

• $g^{pq}\nabla _{p}R_{qk}={\frac {1}{2}}\nabla _{k}R$
• $\operatorname {div} _{g}\operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR$

Эквивалентно:

• $g^{pq}\nabla _{p}G_{qk}=0$
• $\operatorname {div} _{g}G=0$

Личность Риччи

Если $X$ является векторным полем, тогда

$\nabla _{i}\nabla _{j}X^{k}-\nabla _{j}\nabla _{i}X^{k}=-{R_{ijp}}^{k}X^{p},$

что и есть определение тензора Римана. Если $\omega$ является одной формой, тогда

$\nabla _{i}\nabla _{j}\omega _{k}-\nabla _{j}\nabla _{i}\omega _{k}={R_{ijk}}^{p}\omega _{p}.$

В более общем смысле, если $T$ является (0,k)-тензорным полем, то

$\nabla _{i}\nabla _{j}T_{l_{1}\cdots l_{k}}-\nabla _{j}\nabla _{i}T_{l_{1}\cdots l_{k}}={R_{ijl_{1}}}^{p}T_{pl_{2}\cdots l_{k}}+\cdots +{R_{ijl_{k}}}^{p}T_{l_{1}\cdots l_{k-1}p}.$

Замечания

Классический результат гласит, что $W=0$ тогда и только тогда, когда $(M,g)$ локально конформно плоская, т.е. тогда и только тогда, когда $M$ можно покрыть гладкими координатными картами, относительно которых метрический тензор имеет вид $g_{ij}=e^{\varphi }\delta _{ij}$ для какой-то функции $\varphi$ на графике.

Градиент, дивергенция, оператор

Градиент ​ функции $\phi$ получается повышением индекса дифференциала $\partial _{i}\phi dx^{i}$, компоненты которого имеют вид:

$\nabla ^{i}\phi =\phi ^{;i}=g^{ik}\phi _{;k}=g^{ik}\phi _{,k}=g^{ik}\partial _{k}\phi =g^{ik}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{k}}}$

Расхождение компонентами векторного поля с $V^{m}$ является

$\nabla _{m}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{m}}}+V^{k}{\frac {\partial \log {\sqrt {|g|}}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial (V^{m}{\sqrt {|g|}})}{\partial x^{m}}}.$

Оператор Лапласа–Бельтрами, действующий на функцию $f$ определяется дивергенцией градиента:

${\begin{aligned}\Delta f&=\nabla _{i}\nabla ^{i}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\left(g^{jk}{\sqrt {|g|}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}\right)\\&=g^{jk}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g^{jk}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}+{\frac {1}{2}}g^{jk}g^{il}{\frac {\partial g_{il}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}=g^{jk}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}-g^{jk}\Gamma ^{l}{}_{jk}{\frac {\partial f}{\partial x^{l}}}\end{aligned}}$

Дивергенция антисимметричного тензорного поля типа $(2,0)$ упрощается до

$\nabla _{k}A^{ik}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial (A^{ik}{\sqrt {|g|}})}{\partial x^{k}}}.$

Гессен карты $\phi :M\rightarrow N$ дается

$\left(\nabla \left(d\phi \right)\right)_{ij}^{\gamma }={\frac {\partial ^{2}\phi ^{\gamma }}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}-^{M}\Gamma ^{k}{}_{ij}{\frac {\partial \phi ^{\gamma }}{\partial x^{k}}}+^{N}\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x^{j}}}.$

Продукт Кулкарни-Номидзу

Произведение Кулкарни –Номизу — важный инструмент для построения новых тензоров из существующих тензоров на римановом многообразии. Позволять $A$ и $B$ быть симметричными ковариантными 2-тензорами. В координатах,

$A_{ij}=A_{ji}\qquad \qquad B_{ij}=B_{ji}$

Затем мы можем в некотором смысле перемножить их, чтобы получить новый ковариантный 4-тензор, который часто обозначают $A{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B$. Определяющая формула

$\left(A{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B\right)_{ijkl}=A_{ik}B_{jl}+A_{jl}B_{ik}-A_{il}B_{jk}-A_{jk}B_{il}$

Очевидно, что продукт удовлетворяет

$A{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B=B{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}A$

В инерциальной системе отсчета

Ортонормированная инерциальная система отсчета представляет собой карту координат, в начале координат которой имеются соотношения $g_{ij}=\delta _{ij}$ и $\Gamma ^{i}{}_{jk}=0$ (но они могут не выполняться в других точках кадра). Эти координаты также называются нормальными координатами.В таком фрейме выражение для нескольких операторов проще. Обратите внимание, что приведенные ниже формулы действительны только в начале кадра .

$R_{ik\ell m}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x^{k}\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial ^{2}g_{k\ell }}{\partial x^{i}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{i\ell }}{\partial x^{k}\partial x^{m}}}-{\frac {\partial ^{2}g_{km}}{\partial x^{i}\partial x^{\ell }}}\right)$

$R^{\ell }{}_{ijk}={\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\Gamma ^{\ell }{}_{ik}-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\Gamma ^{\ell }{}_{ij}$

Конформное изменение

Позволять $g$ — риманова или псевдориманова метрика на гладком многообразии. $M$, и $\varphi$ гладкая вещественная функция на $M$. Затем

${\tilde {g}}=e^{2\varphi }g$

также является римановой метрикой на $M$. Мы говорим, что ${\tilde {g}}$ (поточечно) конформно $g$. Очевидно, конформность метрик является отношением эквивалентности. Вот несколько формул для конформных изменений тензоров, связанных с метрикой. (Количества, отмеченные тильдой, будут связаны с ${\tilde {g}}$, а те, которые не отмечены таковыми, будут связаны с $g$.)

Связь Леви-Чивита

• ${\widetilde {\Gamma }}_{ij}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}\delta _{j}^{k}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{j}}}\delta _{i}^{k}-{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{l}}}g^{lk}g_{ij}$
• ${\widetilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla _{X}Y+d\varphi (X)Y+d\varphi (Y)X-g(X,Y)\nabla \varphi$

(4,0)

• ${\widetilde {R}}_{ijkl}=e^{2\varphi }R_{ijkl}-e^{2\varphi }{\big (}g_{ik}T_{jl}+g_{jl}T_{ik}-g_{il}T_{jk}-g_{jk}T_{il}{\big )}$ где $T_{ij}=\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i}\varphi \nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{2}}|d\varphi |^{2}g_{ij}$

Использование продукта Кулкарни-Номизу :

• ${\widetilde {\operatorname {Rm} }}=e^{2\varphi }\operatorname {Rm} -e^{2\varphi }g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}\left(\operatorname {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi +{\frac {1}{2}}|d\varphi |^{2}g\right)$

Тензор Риччи

• ${\widetilde {R}}_{ij}=R_{ij}-(n-2){\big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i}\varphi \nabla _{j}\varphi {\big )}-{\big (}\Delta \varphi +(n-2)|d\varphi |^{2}{\big )}g_{ij}$
• ${\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} -(n-2){\big (}\operatorname {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi {\big )}-{\big (}\Delta \varphi +(n-2)|d\varphi |^{2}{\big )}g$

Скалярная кривизна

• ${\widetilde {R}}=e^{-2\varphi }R-2(n-1)e^{-2\varphi }\Delta \varphi -(n-2)(n-1)e^{-2\varphi }|d\varphi |^{2}$
• если $n\neq 2$ это можно написать ${\tilde {R}}=e^{-2\varphi }\left[R-{\frac {4(n-1)}{(n-2)}}e^{-(n-2)\varphi /2}\Delta \left(e^{(n-2)\varphi /2}\right)\right]$

Риччи

• ${\widetilde {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\widetilde {R}}{\widetilde {g}}_{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{n}}Rg_{ij}-(n-2){\big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi -\nabla _{i}\varphi \nabla _{j}\varphi {\big )}+{\frac {(n-2)}{n}}{\big (}\Delta \varphi -|d\varphi |^{2}{\big )}g_{ij}$
• ${\widetilde {\operatorname {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\widetilde {R}}{\widetilde {g}}=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg-(n-2){\big (}\operatorname {Hess} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi {\big )}+{\frac {(n-2)}{n}}{\big (}\Delta \varphi -|d\varphi |^{2}{\big )}g$

(3,1) Кривизна Вейля

• ${{\widetilde {W}}_{ijk}}^{l}={W_{ijk}}^{l}$
• ${\widetilde {W}}(X,Y,Z)=W(X,Y,Z)$ для любых векторных полей $X,Y,Z$

Форма тома

• ${\sqrt {\det {\widetilde {g}}}}=e^{n\varphi }{\sqrt {\det g}}$
• $d\mu _{\widetilde {g}}=e^{n\varphi }\,d\mu _{g}$

Оператор Ходжа в p-формах

• ${\widetilde {\ast }}_{i_{1}\cdots i_{n-p}}^{j_{1}\cdots j_{p}}=e^{(n-2p)\varphi }\ast _{i_{1}\cdots i_{n-p}}^{j_{1}\cdots j_{p}}$
• ${\widetilde {\ast }}=e^{(n-2p)\varphi }\ast$

Кодифференциал на p-формах

• ${\widetilde {d^{\ast }}}_{j_{1}\cdots j_{p-1}}^{i_{1}\cdots i_{p}}=e^{-2\varphi }(d^{\ast })_{j_{1}\cdots j_{p-1}}^{i_{1}\cdots i_{p}}-(n-2p)e^{-2\varphi }\nabla ^{i_{1}}\varphi \delta _{j_{1}}^{i_{2}}\cdots \delta _{j_{p-1}}^{i_{p}}$
• ${\widetilde {d^{\ast }}}=e^{-2\varphi }d^{\ast }-(n-2p)e^{-2\varphi }\iota _{\nabla \varphi }$

Лапласиан о функциях

• ${\widetilde {\Delta }}\Phi =e^{-2\varphi }{\Big (}\Delta \Phi +(n-2)g(d\varphi ,d\Phi ){\Big )}$

Ходж Лапласиан о p-формах

• ${\widetilde {\Delta ^{d}}}\omega =e^{-2\varphi }{\Big (}\Delta ^{d}\omega -(n-2p)d\circ \iota _{\nabla \varphi }\omega -(n-2p-2)\iota _{\nabla \varphi }\circ d\omega +2(n-2p)d\varphi \wedge \iota _{\nabla \varphi }\omega -2d\varphi \wedge d^{\ast }\omega {\Big )}$

Здесь для лапласиана Ходжа используется соглашение о знаках «геометра». В частности, он имеет противоположный знак функций, как обычный лапласиан.

Вторая фундаментальная форма погружения

Предполагать $(M,g)$ является римановым и $F:\Sigma \to (M,g)$ является дважды дифференцируемым погружением. Напомним, что вторая фундаментальная форма для каждого $p\in M,$ симметричная билинейная карта $h_{p}:T_{p}\Sigma \times T_{p}\Sigma \to T_{F(p)}M,$ что ценится в $g_{F(p)}$-ортогональное линейное подпространство $dF_{p}(T_{p}\Sigma )\subset T_{F(p)}M.$ Затем

• ${\widetilde {h}}(u,v)=h(u,v)-(\nabla \varphi )^{\perp }g(u,v)$ для всех $u,v\in T_{p}M$

Здесь $(\nabla \varphi )^{\perp }$ обозначает $g_{F(p)}$-ортогональная проекция $\nabla \varphi \in T_{F(p)}M$ на $g_{F(p)}$-ортогональное линейное подпространство $dF_{p}(T_{p}\Sigma )\subset T_{F(p)}M.$

Средняя кривизна погружения

В той же ситуации, что и выше (и предположим, $\Sigma$ имеет размерность $n$), напомним, что вектор средней кривизны для каждого $p\in \Sigma$ элемент ${\textbf {H}}_{p}\in T_{F(p)}M$ определяется как $g$-след второй фундаментальной формы. Затем

• ${\widetilde {\textbf {H}}}=e^{-2\varphi }({\textbf {H}}-n(\nabla \varphi )^{\perp }).$

Обратите внимание, что эта формула преобразования предназначена для вектора средней кривизны , а формула для средней кривизны $H$ в случае гиперповерхности

• ${\widetilde {H}}=e^{-\varphi }(H-n\langle \nabla \varphi ,\eta \rangle )$

где $\eta$ является (локальным) нормальным векторным полем.

Формулы вариаций

Позволять $M$ — гладкое многообразие и пусть $g_{t}$ быть однопараметрическим семейством римановых или псевдоримановых метрик. Предположим, что это дифференцируемое семейство в том смысле, что для любой гладкой координатной карты производные $v_{ij}={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}(g_{t})_{ij}{\big )}$ существуют и сами являются настолько дифференцируемыми, насколько это необходимо для того, чтобы следующие выражения имели смысл. $v={\frac {\partial g}{\partial t}}$ представляет собой однопараметрическое семейство симметричных 2-тензорных полей.

• ${\frac {\partial }{\partial t}}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big (}\nabla _{i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip}-\nabla _{p}v_{ij}{\Big )}.$
• ${\frac {\partial }{\partial t}}R_{ijkl}={\frac {1}{2}}{\Big (}\nabla _{j}\nabla _{k}v_{il}+\nabla _{i}\nabla _{l}v_{jk}-\nabla _{i}\nabla _{k}v_{jl}-\nabla _{j}\nabla _{l}v_{ik}{\Big )}+{\frac {1}{2}}{R_{ijk}}^{p}v_{pl}-{\frac {1}{2}}{R_{ijl}}^{p}v_{pk}$
• ${\frac {\partial }{\partial t}}R_{ik}={\frac {1}{2}}{\Big (}\nabla ^{p}\nabla _{k}v_{ip}+\nabla _{i}(\operatorname {div} v)_{k}-\nabla _{i}\nabla _{k}(\operatorname {tr} _{g}v)-\Delta v_{ik}{\Big )}+{\frac {1}{2}}R_{i}^{p}v_{pk}-{\frac {1}{2}}R_{i}{}^{p}{}_{k}{}^{q}v_{pq}$
• ${\frac {\partial }{\partial t}}R=\operatorname {div} _{g}\operatorname {div} _{g}v-\Delta (\operatorname {tr} _{g}v)-\langle v,\operatorname {Ric} \rangle _{g}$
• ${\frac {\partial }{\partial t}}d\mu _{g}={\frac {1}{2}}g^{pq}v_{pq}\,d\mu _{g}$
• ${\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{i}\nabla _{j}\Phi =\nabla _{i}\nabla _{j}{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}-{\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big (}\nabla _{i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip}-\nabla _{p}v_{ij}{\Big )}{\frac {\partial \Phi }{\partial x^{k}}}$
• ${\frac {\partial }{\partial t}}\Delta \Phi =-\langle v,\operatorname {Hess} \Phi \rangle _{g}-g{\Big (}\operatorname {div} v-{\frac {1}{2}}d(\operatorname {tr} _{g}v),d\Phi {\Big )}$

Главный символ

Приведенные выше вычисления по формуле вариации определяют главный символ отображения, который переводит псевдориманову метрику в ее тензор Римана, тензор Риччи или скалярную кривизну.

• Главный символ карты $g\mapsto \operatorname {Rm} ^{g}$ назначает каждому $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ отображение из пространства симметричных (0,2)-тензоров на $T_{p}M$ в пространство (0,4)-тензоров на $T_{p}M,$ данный

$v\mapsto {\frac {\xi _{j}\xi _{k}v_{il}+\xi _{i}\xi _{l}v_{jk}-\xi _{i}\xi _{k}v_{jl}-\xi _{j}\xi _{l}v_{ik}}{2}}=-{\frac {1}{2}}(\xi \otimes \xi ){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}v.$

• Главный символ карты $g\mapsto \operatorname {Ric} ^{g}$ назначает каждому $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ эндоморфизм пространства симметричных 2-тензоров на $T_{p}M$ данный

$v\mapsto v(\xi ^{\sharp },\cdot )\otimes \xi +\xi \otimes v(\xi ^{\sharp },\cdot )-(\operatorname {tr} _{g_{p}}v)\xi \otimes \xi -|\xi |_{g}^{2}v.$

• Главный символ карты $g\mapsto R^{g}$ назначает каждому $\xi \in T_{p}^{\ast }M$ элемент двойственного пространства к векторному пространству симметричных 2-тензоров на $T_{p}M$ к

$v\mapsto |\xi |_{g}^{2}\operatorname {tr} _{g}v+v(\xi ^{\sharp },\xi ^{\sharp }).$

См. также

• Уравнения Лиувилля

Ссылки

• Артур Л. Бесс. «Многообразия Эйнштейна». Результаты по математике и смежным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 10. Springer-Verlag, Берлин, 1987. xii+510 стр. ISBN   3-540-15279-2