Это список формул, встречающихся в римановой геометрии . обозначения Эйнштейна На протяжении всей статьи используются . В этой статье используется соглашение о знаках «аналитика» для лапласианов, если не указано иное.
Кристоффеля, ковариантная производная Символы
На гладкой координатной карте первого символы Кристоффеля рода имеют вид
и символы Кристоффеля второго рода
Здесь - обратная матрица метрическому тензору . Другими словами,
и таким образом
есть размерность многообразия .
Символы Кристоффеля удовлетворяют соотношениям симметрии.
- или, соответственно, ,
второй из которых эквивалентен безкрученности связи Леви-Чивита .
Сжимающие отношения на символах Кристоффеля задаются формулой
и
где | г | — абсолютное значение определителя метрического тензора . Они полезны при работе с дивергенциями и лапласианами (см. ниже).
Ковариантная производная векторного поля с компонентами дается:
и аналогично ковариантная производная a - тензорное поле с компонентами дается:
Для - тензорное поле с компонентами это становится
и то же самое для тензоров с большим количеством индексов.
Ковариантная производная функции (скалярная) это обычный дифференциал:
Поскольку связность Леви-Чивита метрически совместима, ковариантные производные метрик исчезают:
а также ковариантные производные определителя метрики (и элемента объема)
Геодезический начиная с начала координат с начальной скоростью имеет расширение Тейлора в диаграмме:
Тензоры кривизны [ править ]
Определения [ править ]
(3,1 Тензор кривизны ) Римана
(3,1 Тензор кривизны ) Римана
Риччи Бесследный тензор
(4,0) Римана Тензор кривизны
Основные симметрии [ править ]
Тензор Вейля имеет те же основные симметрии, что и тензор Римана, но его «аналог» тензора Риччи равен нулю:
Тензор Риччи, тензор Эйнштейна и бесследовый тензор Риччи являются симметричными 2-тензорами:
Бьянки личность Первая
Бьянки личность Вторая
вторая Контрактная личность Бьянки
Дважды заключенный контракт, личность вторая Бьянки
Эквивалентно:
Личность Риччи [ править ]
Если является векторным полем, тогда
что и есть определение тензора Римана. Если является одной формой, тогда
В более общем смысле, если является (0,k)-тензорным полем, то
Классический результат гласит, что тогда и только тогда, когда локально конформно плоская, т.е. тогда и только тогда, когда можно покрыть гладкими координатными картами, относительно которых метрический тензор имеет вид для какой-то функции на графике.
Градиент, дивергенция, оператор – Лапласа Бельтрами
Градиент функции получается повышением индекса дифференциала , компоненты которого имеют вид:
Расхождение компонентами векторного поля с является
Оператор Лапласа–Бельтрами, действующий на функцию определяется дивергенцией градиента:
Дивергенция антисимметричного тензорного поля типа упрощается до
Гессен карты дается
Продукт Кулкарни-Номидзу [ править ]
Произведение Кулкарни –Номизу — важный инструмент для построения новых тензоров из существующих тензоров на римановом многообразии. Позволять и быть симметричными ковариантными 2-тензорами. В координатах,
Затем мы можем в некотором смысле перемножить их, чтобы получить новый ковариантный 4-тензор, который часто обозначают . Определяющая формула
Очевидно, что продукт удовлетворяет
В инерциальной системе отсчета [ править ]
Ортонормированная инерциальная система отсчета представляет собой карту координат, в начале координат которой имеются соотношения и (но они могут не выполняться в других точках кадра). Эти координаты также называются нормальными координатами.В таком фрейме выражение для нескольких операторов проще. Обратите внимание, что приведенные ниже формулы действительны только в начале кадра .
Конформное изменение [ править ]
Позволять — риманова или псевдориманова метрика на гладком многообразии. , и гладкая вещественная функция на . Затем
также является римановой метрикой на . Мы говорим, что (поточечно) конформно . Очевидно, конформность метрик является отношением эквивалентности. Вот несколько формул для конформных изменений тензоров, связанных с метрикой. (Количества, отмеченные тильдой, будут связаны с , а те, которые не отмечены таковыми, будут связаны с .)
Связь Леви-Чивита [ править ]
(4,0) Римана Тензор кривизны
- где
Использование продукта Кулкарни-Номизу :
Тензор Риччи [ править ]
Скалярная кривизна [ править ]
- если это можно написать
Риччи Бесследный тензор
(3,1) Кривизна Вейля [ править ]
- для любых векторных полей
Форма тома [ править ]
Оператор Ходжа в p-формах [ править ]
Кодифференциал на p-формах [ править ]
Лапласиан о функциях [ править ]
Ходж Лапласиан о p-формах [ править ]
Здесь для лапласиана Ходжа используется соглашение о знаках «геометра». В частности, он имеет противоположный знак функций, как обычный лапласиан.
Вторая фундаментальная форма погружения [ править ]
Предполагать является римановым и является дважды дифференцируемым погружением. Напомним, что вторая фундаментальная форма для каждого симметричная билинейная карта что ценится в -ортогональное линейное подпространство Затем
- для всех
Здесь обозначает -ортогональная проекция на -ортогональное линейное подпространство
Средняя кривизна погружения [ править ]
В той же ситуации, что и выше (и предположим, имеет размерность ), напомним, что вектор средней кривизны для каждого элемент определяется как -след второй фундаментальной формы. Затем
Обратите внимание, что эта формула преобразования предназначена для вектора средней кривизны , а формула для средней кривизны в случае гиперповерхности
где является (локальным) нормальным векторным полем.
Формулы вариаций [ править ]
Позволять — гладкое многообразие и пусть быть однопараметрическим семейством римановых или псевдоримановых метрик. Предположим, что это дифференцируемое семейство в том смысле, что для любой гладкой координатной карты производные существуют и сами являются настолько дифференцируемыми, насколько это необходимо для того, чтобы следующие выражения имели смысл. представляет собой однопараметрическое семейство симметричных 2-тензорных полей.
Главный символ [ править ]
Приведенные выше вычисления по формуле вариации определяют главный символ отображения, который переводит псевдориманову метрику в ее тензор Римана, тензор Риччи или скалярную кривизну.
- Главный символ карты назначает каждому отображение из пространства симметричных (0,2)-тензоров на в пространство (0,4)-тензоров на данный
- Главный символ карты назначает каждому эндоморфизм пространства симметричных 2-тензоров на данный
- Главный символ карты назначает каждому элемент двойственного пространства к векторному пространству симметричных 2-тензоров на к
Примечания [ править ]
- Артур Л. Бесс. «Многообразия Эйнштейна». Результаты по математике и смежным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 10. Springer-Verlag, Берлин, 1987. xii+510 стр. ISBN 3-540-15279-2