Jump to content

Список формул римановой геометрии

Это список формул, встречающихся в римановой геометрии . обозначения Эйнштейна На протяжении всей статьи используются . В этой статье используется соглашение о знаках «аналитика» для лапласианов, если не указано иное.

Кристоффеля, ковариантная производная Символы

На гладкой координатной карте первого символы Кристоффеля рода имеют вид

и символы Кристоффеля второго рода

Здесь - обратная матрица метрическому тензору . Другими словами,

и таким образом

есть размерность многообразия .

Символы Кристоффеля удовлетворяют соотношениям симметрии.

или, соответственно, ,


второй из которых эквивалентен безкрученности связи Леви-Чивита .

Сжимающие отношения на символах Кристоффеля задаются формулой

и

где | г | — абсолютное значение определителя метрического тензора . Они полезны при работе с дивергенциями и лапласианами (см. ниже).

Ковариантная производная векторного поля с компонентами дается:

и аналогично ковариантная производная a - тензорное поле с компонентами дается:

Для - тензорное поле с компонентами это становится

и то же самое для тензоров с большим количеством индексов.

Ковариантная производная функции (скалярная) это обычный дифференциал:

Поскольку связность Леви-Чивита метрически совместима, ковариантные производные метрик исчезают:

а также ковариантные производные определителя метрики (и элемента объема)

Геодезический начиная с начала координат с начальной скоростью имеет расширение Тейлора в диаграмме:

Тензоры кривизны [ править ]

Определения [ править ]

(3,1 Тензор кривизны ) Римана

(3,1 Тензор кривизны ) Римана

Кривизна Риччи [ править ]

Скалярная кривизна [ править ]

Риччи Бесследный тензор

(4,0) Римана Тензор кривизны

(4,0) Тензор Вейля [ править ]

Тензор Эйнштейна [ править ]

Личности [ править ]

Основные симметрии [ править ]

Тензор Вейля имеет те же основные симметрии, что и тензор Римана, но его «аналог» тензора Риччи равен нулю:

Тензор Риччи, тензор Эйнштейна и бесследовый тензор Риччи являются симметричными 2-тензорами:

Бьянки личность Первая

Бьянки личность Вторая

вторая Контрактная личность Бьянки

Дважды заключенный контракт, личность вторая Бьянки

Эквивалентно:

Личность Риччи [ править ]

Если является векторным полем, тогда

что и есть определение тензора Римана. Если является одной формой, тогда

В более общем смысле, если является (0,k)-тензорным полем, то

Замечания [ править ]

Классический результат гласит, что тогда и только тогда, когда локально конформно плоская, т.е. тогда и только тогда, когда можно покрыть гладкими координатными картами, относительно которых метрический тензор имеет вид для какой-то функции на графике.

Градиент, дивергенция, оператор Лапласа Бельтрами

Градиент функции получается повышением индекса дифференциала , компоненты которого имеют вид:

Расхождение компонентами векторного поля с является

Оператор Лапласа–Бельтрами, действующий на функцию определяется дивергенцией градиента:

Дивергенция антисимметричного тензорного поля типа упрощается до

Гессен карты дается

Продукт Кулкарни-Номидзу [ править ]

Произведение Кулкарни –Номизу — важный инструмент для построения новых тензоров из существующих тензоров на римановом многообразии. Позволять и быть симметричными ковариантными 2-тензорами. В координатах,

Затем мы можем в некотором смысле перемножить их, чтобы получить новый ковариантный 4-тензор, который часто обозначают . Определяющая формула

Очевидно, что продукт удовлетворяет

В инерциальной системе отсчета [ править ]

Ортонормированная инерциальная система отсчета представляет собой карту координат, в начале координат которой имеются соотношения и (но они могут не выполняться в других точках кадра). Эти координаты также называются нормальными координатами.В таком фрейме выражение для нескольких операторов проще. Обратите внимание, что приведенные ниже формулы действительны только в начале кадра .

Конформное изменение [ править ]

Позволять — риманова или псевдориманова метрика на гладком многообразии. , и гладкая вещественная функция на . Затем

также является римановой метрикой на . Мы говорим, что (поточечно) конформно . Очевидно, конформность метрик является отношением эквивалентности. Вот несколько формул для конформных изменений тензоров, связанных с метрикой. (Количества, отмеченные тильдой, будут связаны с , а те, которые не отмечены таковыми, будут связаны с .)

Связь Леви-Чивита [ править ]

(4,0) Римана Тензор кривизны

  • где

Использование продукта Кулкарни-Номизу :

Тензор Риччи [ править ]

Скалярная кривизна [ править ]

  • если это можно написать

Риччи Бесследный тензор

(3,1) Кривизна Вейля [ править ]

  • для любых векторных полей

Форма тома [ править ]

Оператор Ходжа в p-формах [ править ]

Кодифференциал на p-формах [ править ]

Лапласиан о функциях [ править ]

Ходж Лапласиан о p-формах [ править ]

Здесь для лапласиана Ходжа используется соглашение о знаках «геометра». В частности, он имеет противоположный знак функций, как обычный лапласиан.

Вторая фундаментальная форма погружения [ править ]

Предполагать является римановым и является дважды дифференцируемым погружением. Напомним, что вторая фундаментальная форма для каждого симметричная билинейная карта что ценится в -ортогональное линейное подпространство Затем

  • для всех

Здесь обозначает -ортогональная проекция на -ортогональное линейное подпространство

Средняя кривизна погружения [ править ]

В той же ситуации, что и выше (и предположим, имеет размерность ), напомним, что вектор средней кривизны для каждого элемент определяется как -след второй фундаментальной формы. Затем

Обратите внимание, что эта формула преобразования предназначена для вектора средней кривизны , а формула для средней кривизны в случае гиперповерхности

где является (локальным) нормальным векторным полем.

Формулы вариаций [ править ]

Позволять — гладкое многообразие и пусть быть однопараметрическим семейством римановых или псевдоримановых метрик. Предположим, что это дифференцируемое семейство в том смысле, что для любой гладкой координатной карты производные существуют и сами являются настолько дифференцируемыми, насколько это необходимо для того, чтобы следующие выражения имели смысл. представляет собой однопараметрическое семейство симметричных 2-тензорных полей.

Главный символ [ править ]

Приведенные выше вычисления по формуле вариации определяют главный символ отображения, который переводит псевдориманову метрику в ее тензор Римана, тензор Риччи или скалярную кривизну.

  • Главный символ карты назначает каждому отображение из пространства симметричных (0,2)-тензоров на в пространство (0,4)-тензоров на данный
  • Главный символ карты назначает каждому эндоморфизм пространства симметричных 2-тензоров на данный
  • Главный символ карты назначает каждому элемент двойственного пространства к векторному пространству симметричных 2-тензоров на к

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

  • Артур Л. Бесс. «Многообразия Эйнштейна». Результаты по математике и смежным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 10. Springer-Verlag, Берлин, 1987. xii+510 стр. ISBN   3-540-15279-2
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 25cc527167633467d297826fffe18456__1715217720
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/25/56/25cc527167633467d297826fffe18456.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
List of formulas in Riemannian geometry - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)