Поле Якоби

В римановой геометрии поле Якоби — это векторное поле вдоль геодезической. $\gamma$ в римановом многообразии, описывающем разницу между геодезической и «бесконечно малой» геодезической. Другими словами, поля Якоби вдоль геодезической образуют касательное пространство к геодезической в пространстве всех геодезических. Они названы в честь Карла Якоби .

Определения и свойства

Поля Якоби можно получить следующим образом: Возьмем гладкое однопараметрическое семейство геодезических. $\gamma _{\tau }$ с $\gamma _{0}=\gamma$ , затем

J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}

является полем Якоби и описывает поведение геодезических в бесконечно малой окрестности точки. данный геодезический $\gamma$ .

Векторное поле J вдоль геодезической $\gamma$ называется полем Якоби, если оно удовлетворяет уравнению Якоби :

{\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J(t)+R(J(t),{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\gamma }}(t)=0,

где D обозначает ковариантную производную по связи Леви-Чивита , R — тензор кривизны Римана , ${\dot {\gamma }}(t)=d\gamma (t)/dt$ касательное векторное поле, а t — параметр геодезической.На полном римановом многообразии для любого поля Якоби существует семейство геодезических $\gamma _{\tau }$ описание поля (как в предыдущем абзаце).

Уравнение Якоби представляет собой линейное второго порядка обыкновенное дифференциальное уравнение ;в частности, ценности $J$ и ${\frac {D}{dt}}J$ в одной точке $\gamma$ однозначно определяют поле Якоби. Более того, множество полей Якоби вдоль данной геодезической образует вещественное векторное пространство размерности, вдвое превышающей размерность многообразия.

В качестве тривиальных примеров полей Якоби можно рассмотреть ${\dot {\gamma }}(t)$ и $t{\dot {\gamma }}(t)$ . Они соответствуют соответственно следующим семействам репараметризаций: $\gamma _{\tau }(t)=\gamma (\tau +t)$ и $\gamma _{\tau }(t)=\gamma ((1+\tau )t)$ .

Любое поле Якоби $J$ можно представить единственным образом в виде суммы $T+I$ , где $T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)$ является линейной комбинацией тривиальных полей Якоби и $I(t)$ ортогонален ${\dot {\gamma }}(t)$ , для всех $t$ . Поле $I$ тогда соответствует той же вариации геодезических, что и $J$ , только с измененными параметризациями.

Мотивирующий пример

На единичной сфере геодезические , проходящие через Северный полюс, представляют собой большие круги . Рассмотрим две такие геодезические $\gamma _{0}$ и $\gamma _{\tau }$ с натуральным параметром, $t\in [0,\pi ]$ , разделенные углом $\tau$ . Геодезическое расстояние

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,

является

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\sin ^{-1}{\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+\cos ^{2}t\tan ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.

Для этого необходимо знать геодезические данные. Самая интересная информация как раз об этом

d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0\,

, для любого

\tau

.

Вместо этого мы можем рассмотреть производную по $\tau$ в $\tau =0$ :

{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=|J(t)|=\sin t.

Обратите внимание, что мы по-прежнему обнаруживаем пересечение геодезических в точке $t=\pi$ . Обратите внимание, что для вычисления этой производной нам на самом деле не нужно знать

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,

,

скорее, все, что нам нужно сделать, это решить уравнение

y''+y=0\,

,

для некоторых заданных исходных данных.

Поля Якоби дают естественное обобщение этого явления на произвольные римановы многообразия .

Решение уравнения Якоби

Позволять $e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|$ и завершите это, чтобы получить ортонормированный базис ${\big \{}e_{i}(0){\big \}}$ в $T_{\gamma (0)}M$ . Параллельно транспортируем его, чтобы получить основу $\{e_{i}(t)\}$ все время $\gamma$ . Это дает ортонормированный базис с $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|$ . Поле Якоби можно записать в координатах в этом базисе как $J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)$ и таким образом

{\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),

а уравнение Якоби можно переписать в виде системы

{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0

для каждого $k$ . Таким образом мы получаем линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ). Поскольку это ОДУ имеет гладкие коэффициенты, мы имеем, что решения существуют для всех $t$ и уникальны, учитывая $y^{k}(0)$ и ${y^{k}}'(0)$ , для всех $k$ .

Примеры

Рассмотрим геодезическую $\gamma (t)$ с параллельной ортонормированной системой координат $e_{i}(t)$ , $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|$ , построенный, как указано выше.

Векторные поля вдоль $\gamma$ данный ${\dot {\gamma }}(t)$ и $t{\dot {\gamma }}(t)$ представляют собой поля Якоби.
В евклидовом пространстве (как и в пространствах постоянной нулевой секционной кривизны ) поля Якоби — это просто поля, линейные по $t$ .
Для римановых многообразий постоянной отрицательной секционной кривизны $-k^{2}$ , любое поле Якоби является линейной комбинацией ${\dot {\gamma }}(t)$ , $t{\dot {\gamma }}(t)$ и $\exp(\pm kt)e_{i}(t)$ , где $i>1$ .
Для римановых многообразий постоянной положительной секционной кривизны $k^{2}$ , любое поле Якоби является линейной комбинацией ${\dot {\gamma }}(t)$ , $t{\dot {\gamma }}(t)$ , $\sin(kt)e_{i}(t)$ и $\cos(kt)e_{i}(t)$ , где $i>1$ .
Ограничение векторного поля Киллинга на геодезическую является полем Якоби в любом римановом многообразии.

См. также

Ссылки

Манфредо Пердиган ду Карму . Риманова геометрия. Перевод второго португальского издания Фрэнсиса Флаэрти. Математика: теория и приложения. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1992. xiv+300 стр. ISBN 0-8176-3490-8
Джефф Чигер и Дэвид Г. Эбин . Теоремы сравнения в римановой геометрии. Переработанное переиздание оригинала 1975 года. AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, 2008. x+168 стр. ISBN 978-0-8218-4417-5
Сошичи Кобаяши и Кацуми Номидзу . Основы дифференциальной геометрии. Том. II. Перепечатка оригинала 1969 года. Библиотека классической литературы Уайли. Публикация Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Нью-Йорк, 1996. xvi+468 стр. ISBN 0-471-15732-5
Барретт О'Нил . Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Нью-Йорк, 1983. xiii+468 стр. ISBN 0-12-526740-1