Теорема сравнения Рауха

В римановой геометрии теорема сравнения Рауха , названная в честь Гарри Рауха , доказавшего ее в 1951 году, является фундаментальным результатом, который связывает секционную кривизну риманова многообразия со скоростью, с которой геодезические раздвигаются. Интуитивно понятно, что при положительной кривизне геодезические имеют тенденцию сходиться, а при отрицательной кривизне геодезические имеют тенденцию расширяться.

Формулировка теоремы включает в себя два римановых многообразия и позволяет сравнить бесконечно малую скорость, с которой геодезические расширяются в двух многообразиях, при условии, что их кривизну можно сравнить. В большинстве случаев одно из двух многообразий представляет собой «модель сравнения», обычно многообразие с постоянной кривизной , а второе — изучаемое многообразие: оценка (нижняя или верхняя) его секционной кривизны тогда требуется . чтобы применить теорему сравнения Рауха.

Заявление

Позволять $M,{\widetilde {M}}$ — римановы многообразия, на которых нарисованы геодезические отрезки с единичной скоростью. $\gamma :[0,T]\to M$ и ${\widetilde {\gamma }}:[0,T]\to {\widetilde {M}}$ . Предположим, что ${\widetilde {\gamma }}(0)$ не имеет сопряженных точек вдоль ${\widetilde {\gamma }}$ , и пусть $J,{\widetilde {J}}$ — два нормальных поля Якоби вдоль $\gamma$ и ${\widetilde {\gamma }}$ такой, что:

$J(0)=0$ и ${\widetilde {J}}(0)=0$
$|D_{t}J(0)|=\left|{\widetilde {D}}_{t}{\widetilde {J}}(0)\right|$ .

Если секционная кривизна каждой 2-плоскости $\Pi \subset T_{\gamma (t)}M$ содержащий ${\dot {\gamma }}(t)$ меньше или равна кривизне сечения каждой 2-плоскости ${\widetilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\widetilde {M}}$ содержащий ${\dot {\widetilde {\gamma }}}(t)$ , затем $|J(t)|\geq |{\widetilde {J}}(t)|$ для всех $t\in [0,T]$ .

Условия теоремы

Теорема сформулирована с использованием полей Якоби для измерения изменения геодезических. Поскольку касательная часть поля Якоби не зависит от геометрии многообразия, теорема фокусируется на нормальных полях Якоби, то есть полях Якоби, ортогональных вектору скорости. ${\dot {\gamma }}(t)$ геодезических на все времена $t$ . С точностью до перепараметризации каждая вариация геодезических индуцирует нормальное поле Якоби.

Поля Якоби просят исчезнуть со временем $t=0$ потому что теорема измеряет бесконечно малое расхождение (или сходимость) семейства геодезических, выходящих из одной и той же точки. $\gamma (0)$ , и такое семейство индуцирует поле Якоби, исчезающее при $t=0$ .

Аналоговые теоремы

При очень похожих условиях также можно сравнить гессиан функции расстояния с данной точкой. ^[1] Также возможно сравнить лапласиан этой функции (который является следом гессиана) с некоторым дополнительным условием на одном из двух многообразий: тогда достаточно иметь неравенство на кривизне Риччи (которое является следом тензор кривизны). ^[1]

См. также

Toponogov's theorem

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Грин, Роберт Эверист; Ву, Хунси (1979). Теория функций на многообразиях, обладающих полюсом . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09108-4 . OCLC 4593089 .

ду Карму, М. П. Риманова геометрия , Биркхойзер, 1992.
Ли, Дж. М., Римановы многообразия: введение в кривизну , Springer, 1997.

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Грин, Роберт Эверист; Ву, Хунси (1979). Теория функций на многообразиях, обладающих полюсом . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09108-4 . OCLC 4593089 .

[1]