Сопряженные точки

В дифференциальной геометрии сопряженные точки или фокальные точки. ^[1]^[2] грубо говоря, это точки, которые почти можно соединить однопараметрическим семейством геодезических . Например, на сфере северный и южный полюс соединены каким-либо меридианом . Другая точка зрения заключается в том, что сопряженные точки сообщают, когда геодезические не могут минимизировать длину. Все геодезические локально минимизируют длину , но не глобально. Например, на сфере любая геодезическая, проходящая через северный полюс, может быть продлена до южного полюса, и, следовательно, любой геодезический сегмент, соединяющий полюса, не является (единственно) глобально минимизирующим длину. Это говорит нам о том, что любая пара противоположных точек на стандартной 2-сфере является сопряженными точками. ^[3]

Определение

Предположим, что p и q — точки псевдориманова многообразия и $\gamma$ — геодезическая , соединяющая p и q . Тогда p и q — сопряженные точки вдоль $\gamma$ если существует ненулевое поле Якоби вдоль $\gamma$ который исчезает в точках p и q .

Напомним, что любое поле Якоби можно записать как производную геодезической вариации (см. статью о полях Якоби ). Следовательно, если p и q сопряжены вдоль $\gamma$ , можно построить семейство геодезических, которые начинаются в точке p и почти заканчиваются в точке q . В частности,если $\gamma _{s}(t)$ — семейство геодезических, производная которых по s в точке $s=0$ генерирует поле Якоби J , то конечная точкавариации, а именно $\gamma _{s}(1)$ , является точкой q только до первого порядка по s . Следовательно, если две точки сопряжены, то не обязательно, чтобы существовали две различные соединяющие их геодезические.

Для римановой геометрии, за пределами сопряженной точки, геодезическая больше не является локально кратчайшим путем между точками, поскольку существуют близлежащие пути, которые короче. Это аналогично поверхности Земли, где геодезическая между двумя точками большого круга представляет собой кратчайший путь только до противоположной точки; кроме того, есть более короткие пути.

За пределами сопряженной точки геодезическая в лоренцевой геометрии может не максимизировать собственное время (для времениподобных геодезических), и геодезическая может войти в область, где она больше не является уникальной или четко определенной. Для нулевой геодезической точки за пределами сопряженной точки теперь разделены по времениподобию.

С точностью до первой сопряженной точки геодезическая между двумя точками единственна. Помимо этого, может быть несколько геодезических, соединяющих две точки.

Предположим, что у нас есть лоренцево многообразие с геодезической конгруэнцией . Затем в сопряженной точке параметр разложения θ в уравнении Райчаудхури становится отрицательным и бесконечным за конечное время, указывая на то, что геодезические фокусируются в точке. Это происходит потому, что площадь поперечного сечения конгруэнции становится нулевой, и, следовательно, скорость изменения этой площади (что представляет собой θ) расходится отрицательно.

Примеры

На сфере $S^{2}$ , антиподальные точки сопряжены.
В реальном координатном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ , нет сопряженных точек.
На римановых многообразиях неположительной секционной кривизны нет сопряженных точек.

См. также

Ссылки

^ Бишоп, Ричард Л. и Криттенден, Ричард Дж. Геометрия многообразий . Издательство AMS Chelsea, 2001, стр. 224–225.
^ Хокинг, Стивен; Эллис, Джордж (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Издательство Кембриджского университета.
^ Чигер, Эбин. Теоремы сравнения в римановой геометрии . Издательство Северной Голландии, 1975, стр. 17-18.

[1] Бишоп, Ричард Л. и Криттенден, Ричард Дж. Геометрия многообразий . Издательство AMS Chelsea, 2001, стр. 224–225.

[2] Хокинг, Стивен; Эллис, Джордж (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Издательство Кембриджского университета.

[3] Чигер, Эбин. Теоремы сравнения в римановой геометрии . Издательство Северной Голландии, 1975, стр. 17-18.

[1]

[2]

[3]