Вырезать локус

Геодезические на эллипсоиде (синий) из одной точки (для сплющивания f = 1 ⁄ 10 , широта φ ₁ = −30° ) образуют сегмент круга широты ; геодезические круги показаны зеленым цветом, а разрез - красным.

В дифференциальной геометрии разрез — это точки p p на многообразии замыкание множества всех других точек многообразия, которые соединены с двумя или более различными кратчайшими геодезическими . В более общем смысле, разрез замкнутого множества X на многообразии представляет собой замыкание множества всех других точек многообразия, соединенных с X двумя или более различными кратчайшими геодезическими.

Примеры

Разрезаем геометрическое место C(P) точки P на поверхности цилиндра. Точка Q в разрезе показана с двумя различными кратчайшими путями. $\gamma _{1},\gamma _{2}$ соединив его с П.

На евклидовой плоскости точка p имеет пустое сечение, поскольку каждая другая точка соединена с p уникальной геодезической (отрезком между точками).

На сфере разрез точки состоит из единственной антиподальной точки диаметрально противоположной ей .

На бесконечно длинном цилиндре разрез точки состоит из прямой, противоположной этой точке.

Пусть X — граница простого многоугольника в евклидовой плоскости. Тогда разрез X внутри многоугольника является его средней осью . Точки на медиальной оси — это центры дисков, которые касаются границы многоугольника в двух или более точках, что соответствует двум или более кратчайшим путям к центру диска.

Пусть x — точка на поверхности выпуклого многогранника P . Тогда разрез x многогранника известен как гребень P на поверхности относительно x . Это гребневое дерево обладает тем свойством, что разрезание поверхности по его краям разворачивает P в простой плоский многоугольник. Этот многоугольник можно рассматривать как развертку многогранника.

Формальное определение

Исправить точку $p$ в полном римановом многообразии $(M,g)$, и рассмотрим касательное пространство $T_{p}M$. Это стандартный результат: для достаточно малых $v$ в $T_{p}M$, кривая, определяемая римановым экспоненциальным отображением , $\gamma (t)=\exp _{p}(tv)$ для $t$ принадлежащий интервалу $[0,1]$ является минимизирующей геодезической и уникальной минимизирующей геодезической, соединяющей две конечные точки. Здесь $\exp _{p}$ обозначает экспоненциальную карту из $p$. локус Вырезанный $p$ в касательном пространстве определяется как множество всех векторов $v$ в $T_{p}M$ такой, что $\gamma (t)=\exp _{p}(tv)$ является минимизирующей геодезической для $t\in [0,1]$ но не удается минимизировать $t=1+\varepsilon$ для каждого $\varepsilon >0$. Таким образом, разрез в касательном пространстве является границей множества $$\{v\in T_{p}M|d(\exp _{p}v,p)=\|v\|\}$$где $d$ обозначает метрику длины $M$, и $\|\cdot \|$ является евклидовой нормой $T_{p}M$. локус Вырезанный $p$ в $M$ определяется как изображение локуса разреза $p$ в касательном пространстве под экспоненциальным отображением при $p$. Таким образом, мы можем интерпретировать локус разреза $p$ в $M$ как точки многообразия, где геодезические, начинающиеся в $p$ перестаньте минимизировать.

Наименьшее расстояние от p до разреза — это радиус инъективности в точке p . На открытом шаре этого радиуса экспоненциальное отображение в точке p представляет собой диффеоморфизм касательного пространства к многообразию, и это наибольший такой радиус. Глобальный радиус инъективности определяется как нижняя грань радиуса инъективности в точке p по всем точкам многообразия.

Характеристика

Предполагать $q$ находится в локусе разреза $p$ в $M$. Стандартный результат заключается в том, что либо (1) существует более одного минимизирующего геодезического соединения $p$ к $q$, или (2) $p$ и $q$ сопряжены геодезической по некоторой который их объединяет. Возможно выполнение как (1), так и (2).

Приложения

Значение разрезаемого локуса состоит в том, что функция расстояния от точки $p$ гладкая, за исключением места среза $p$ и $p$ сам. В частности, имеет смысл убрать градиент и гессиан функции расстояния из разреза и $p$. Эта идея используется в локальной теореме сравнения Лапласа и локальной теореме сравнения Гессе . Они используются при доказательстве локальной версии теоремы Топоногова и многих других важных теорем римановой геометрии.

В метрическом пространстве поверхностных расстояний выпуклого многогранника разрезание многогранника по разрезу образует форму, которую можно развернуть в плоскость, при этом источник разворачивается . Процесс развертывания может осуществляться непрерывно, по мере развертывания многогранника. Аналогичные методы разрезания по разрезу можно использовать и для развертывания выпуклых многогранников более высокой размерности.

Вырезать локус подмножества

Аналогичным образом можно определить разрез подмногообразия риманова многообразия в терминах его нормального экспоненциального отображения.