Toponogov's theorem

В математической области римановой геометрии теорема Топоногова (названная в честь Виктора Андреевича Топоногова ) представляет собой теорему сравнения треугольников.Это одна из семейства теорем сравнения , которые количественно определяют утверждение о том, что пара геодезических, исходящих из точки p, расходится медленнее в области высокой кривизны, чем в области низкой кривизны.

Пусть M — m -мерное риманово многообразие секционной кривизны K, удовлетворяющее условиям $K\geq \delta \,.$Пусть pqr — геодезический треугольник , т. е. треугольник, стороны которого являются геодезическими, в M , такой, что геодезическая pq минимальна, и если δ > 0 , длина стороны pr меньше, чем $\pi /{\sqrt {\delta }}$.Пусть p ′ q ′ r ′ — геодезический треугольник в модельном пространстве M _δ , т.е. односвязное пространство постоянной кривизны δ, такой, что длины сторон p'q' и p'r' равны длинам сторон pq и pr соответственно, а угол в точке p’ равен углу в точке p . Затем

$d(q,r)\leq d(q',r').\,$

Когда секционная кривизна ограничена сверху, следствие теоремы сравнения Рауха дает аналогичное утверждение, но с обратным неравенством .

Ссылки

• Чавел, Исаак (2006), Риманова геометрия; Современное введение (второе изд.), Cambridge University Press
• Бергер, Марсель (2004), Панорамный вид римановой геометрии , Springer-Verlag, ISBN  3-540-65317-1
• Чигер, Джефф; Эбин, Дэвид Г. (2008), Теоремы сравнения в римановой геометрии , AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, ISBN  978-0-8218-4417-5 , МР   2394158

Внешние ссылки

• Памбучян В., Замфиреску Т. «Паоло Пиццетти: забытый создатель геометрии сравнения треугольников». Хист Математика 38:8 (2011)