Теорема единственности Александрова

Теорема единственности Александрова — теорема жесткости в математике, описывающая трехмерные выпуклые многогранники через расстояния между точками на их поверхностях. Это означает, что выпуклые многогранники с отличной друг от друга формой также имеют различные метрические пространства поверхностных расстояний и характеризуют метрические пространства, возникающие из поверхностных расстояний на многогранниках. Она названа в честь советского математика Александра Даниловича Александрова , опубликовавшего ее в 1940-х годах.

Формулировка теоремы

Поверхность любого выпуклого многогранника в евклидовом пространстве образует метрическое пространство , в котором расстояние между двумя точками измеряется длиной кратчайшего пути от одной точки к другой по поверхности. В пределах одного кратчайшего пути расстояния между парами точек равны расстояниям между соответствующими точками отрезка одинаковой длины; путь с этим свойством известен как геодезическая . Это свойство многогранных поверхностей, заключающееся в том, что каждая пара точек соединена геодезической, неверно для многих других метрических пространств, и когда оно верно, такое пространство называется геодезическим. Геодезическое пространство, образованное поверхностью многогранника, называется его разверткой .

Четыре правильных шестиугольника можно сложить и склеить, чтобы образовать поверхность правильного октаэдра. В этом примере ребра шестиугольников не совпадают с ребрами октаэдра. По той же схеме склейки можно получить и невыпуклый многогранник с 24 треугольными гранями.

Многогранник можно представить сложенным из листа бумаги ( сетки для многогранника), и он наследует ту же геометрию, что и бумага: для каждой точки p внутри грани многогранника достаточно малая открытая окрестность p будет имеют те же расстояния, что и подмножество евклидовой плоскости . То же самое справедливо даже для точек на ребрах многогранника: их можно локально моделировать как евклидову плоскость, сложенную вдоль прямой и вложенную в трехмерное пространство, но складка не меняет структуру кратчайших путей вдоль поверхности. . Однако вершины многогранника имеют разную структуру расстояний: локальная геометрия вершины многогранника такая же, как локальная геометрия вершины конуса . Любой конус можно сформировать из плоского листа бумаги с удаленным из него клином, склеив разрезанные края там, где был удален клин. Угол клина, который был удален, называется угловым дефектом вершины; это положительное число меньше 2 π . Дефект вершины многогранника можно измерить, вычитая углы граней в этой вершине из 2 π . Например, в правильном тетраэдре угол каждой грани равен π /3, и в каждой вершине их по три, поэтому вычитание их из 2 π оставляет дефект π в каждой из четырех вершин. Аналогично куб имеет дефект π /2 в каждой из восьми вершин. Теорема Декарта о полном угловом дефекте (разновидность теоремы Гаусса – Бонне ) утверждает, что сумма угловых дефектов всех вершин всегда равна точно 4 π . Таким образом, выпуклый многогранник геодезичен, гомеоморфен (топологически эквивалентен) сфере и локально евклидов, за исключением конечного числа конических точек, угловой дефект которых равен 4 π .

Теорема Александрова дает обратное этому описанию. Он утверждает, что если метрическое пространство геодезическое, гомеоморфное сфере и локально евклидово, за исключением конечного числа конусных точек с положительным угловым дефектом (необходимо в сумме равным 4 π ), то существует выпуклый многогранник, развитием которого является заданное пространство. . При этом этот многогранник однозначно определяется из метрики: любые два выпуклых многогранника с одинаковой метрикой поверхности должны быть конгруэнтны друг другу как трехмерные множества.

Ограничения

Два квадратных листа, соединенные по краям, образуют вырожденный плоский многогранник с четырьмя точками отклонения угла π в четырех его углах. Его можно надуть, не растягивая до этой невыпуклой формы , что делает коническую природу углов более заметной.

Многогранник, представляющий данное метрическое пространство, может быть вырожденным : он может образовывать двумерный выпуклый многоугольник с двойным покрытием ( диэдр ), а не полностью трехмерный многогранник. В этом случае метрика его поверхности состоит из двух копий многоугольника (двух его сторон), склеенных по соответствующим ребрам.

Правильный икосаэдр имеет ту же метрику поверхности, что и невыпуклый дельтаэдр , в который вставлена ​​одна пятиугольная пирамида.

Невыпуклый 24-гранный тетракис-шестигранник с той же геометрией поверхности, что и у правильного октаэдра.

Хотя теорема Александрова утверждает, что существует единственный выпуклый многогранник, поверхность которого имеет заданную метрику, возможно также существование невыпуклых многогранников с той же метрикой. Примером может служить правильный икосаэдр : если пять его треугольников удалить и заменить пятью равными треугольниками, образующими углубление в многограннике, результирующая метрика поверхности останется неизменной. В этом примере используются одни и те же складки для выпуклого и невыпуклого многогранника, но это не всегда так. Например, поверхность правильного октаэдра можно переложить по различным складкам в невыпуклый многогранник с 24 равносторонними треугольными гранями, Клитоп получается путем наклеивания квадратных пирамид на квадраты куба. Шесть треугольников встречаются в каждой дополнительной вершине, возникшей в результате этого переворачивания, поэтому они не имеют углового дефекта и остаются локально евклидовыми. На иллюстрации октаэдра, сложенного из четырех шестиугольников, эти 24 треугольника получены путем разделения каждого шестиугольника на шесть треугольников.

Развитие любого многогранника можно конкретно описать совокупностью двумерных многоугольников вместе с инструкциями по склейке их по ребрам в метрическое пространство, и условия теоремы Александрова для описанных таким образом пространств легко проверяются. Однако ребра в месте склейки двух многоугольников могут стать плоскими и оказаться внутри граней получившегося многогранника. а не превращаться в ребра многогранника. (Пример этого явления см. на иллюстрации четырех шестиугольников, склеенных в октаэдр.) Поэтому, даже когда развитие описывается таким образом, может быть неясно, какую форму имеет получившийся многогранник, какие формы имеют его грани. , или даже сколько у него лиц. Оригинальное доказательство Александрова не приводит к алгоритму построения многогранника (например, путем задания координат его вершин), реализующего данное метрическое пространство. В 2008 году Бобенко и Изместьев предложили такой алгоритм. Их алгоритм может аппроксимировать координаты сколь угодно точно за псевдополиномиальное время .

Связанные результаты

Одной из первых теорем существования и единственности выпуклых многогранников является теорема Коши , которая утверждает, что выпуклый многогранник однозначно определяется формой и связностью его граней. Теорема Александрова усиливает это утверждение, показывая, что даже если граням разрешено сгибаться или складываться без растяжения или сжатия, то их связность все равно определяет форму многогранника. В свою очередь, доказательство существования Александровым части его теоремы использует усиление теоремы Коши Максом Деном до бесконечно малой жесткости .

Аналогичный результат Александрова справедлив для гладких выпуклых поверхностей: двумерное риманово многообразие которого , гауссова кривизна всюду положительна и имеет сумму 4 π, может быть однозначно представлена ​​как поверхность гладкого выпуклого тела в трех измерениях. Уникальность этого представления является результатом Стефана Кон-Фоссена 1927 года с некоторыми условиями регулярности на поверхности, которые были удалены в более поздних исследованиях. Его существование было доказано Александровым, используя аргумент, включающий пределы многогранной метрики. Алексей Погорелов обобщил оба этих результата, характеризуя развитие произвольных выпуклых тел в трех измерениях.

Другой результат Погорелова о геодезических метрических пространствах, полученных из выпуклых многогранников, представляет собой вариант теоремы о трех геодезических : каждый выпуклый многогранник имеет по крайней мере три простых замкнутых квазигеодезических. Это кривые, которые являются локально прямыми линиями, за исключением случаев, когда они проходят через вершину, где они должны иметь углы меньше π с обеих сторон.

Развития идеальных гиперболических многогранников можно охарактеризовать аналогично евклидовым выпуклым многогранникам: каждое двумерное многообразие с однородной гиперболической геометрией и конечной площадью, комбинаторно эквивалентное сфере с конечными проколами, может быть реализовано как поверхность идеального многогранника. .