Выпуклые многогранники (книга)
Выпуклые многогранники — книга по математике выпуклых многогранников , написанная советским математиком Александром Даниловичем Александровым и первоначально опубликованная на русском языке в 1950 году под названием « Выпуклые многогранники» . [1] [2] Он был переведен на немецкий язык Вильгельмом Зюссом как Konvexe Polyeder в 1958 году. [3] Обновленное издание, переведенное на английский язык Даирбековым Нурланом С., Кутателадзе Семеном Самсоновичем и Сосинским Алексеем Б., с добавленными материалами Виктора Залгаллера , Л.А. Шора и Ю.Б. А. Волкова, была опубликована издательством под названием «Выпуклые многогранники» в 2005 году. Springer-Verlag [4] [5] [6]
Темы
[ редактировать ]Основное внимание в книге уделяется спецификации геометрических данных, которые будут однозначно определять форму трехмерного выпуклого многогранника с точностью до некоторого класса геометрических преобразований, таких как конгруэнтность или подобие. [1] [4] [6] Он рассматривает как ограниченные многогранники ( выпуклые оболочки конечных наборов точек), так и неограниченные многогранники (пересечения конечного числа полупространств ). [1]
Русское издание книги 1950 года включало 11 глав. В первой главе рассматриваются основные топологические свойства многогранников, включая их топологическую эквивалентность сферам (в ограниченном случае) и многогранную формулу Эйлера . После леммы Огюстена Коши о невозможности пометить ребра многогранника положительными и отрицательными знаками так, чтобы каждая вершина имела хотя бы четыре смены знака, [1] оставшаяся часть главы 2 описывает содержание оставшейся книги. [4] Главы 3 и 4 доказывают теорему единственности Александрова , характеризующую геометрию поверхности многогранников как в точности метрические пространства , которые топологически сферичны локально, как евклидова плоскость , за исключением конечного набора точек положительного углового дефекта , подчиняясь теореме Декарта о полном угловом дефекте. что общий угловой дефект должен быть . В главе 5 рассматриваются метрические пространства, определенные таким же образом, которые топологически являются диском, а не сферой, и изучаются возникающие в результате гибкие многогранные поверхности . [1]
Главы с 6 по 8 книги связаны с теоремой Германа Минковского о том, что выпуклый многогранник однозначно определяется площадями и направлениями его граней , с новым доказательством, основанным на инвариантности области определения . [1] Обобщение этой теоремы означает, что то же самое верно для периметров и направлений граней. [5] Глава 9 посвящена реконструкции трехмерных многогранников из двухмерной перспективы путем ограничения вершин многогранника лежать на лучах через точку зрения. Оригинальное русское издание книги завершается двумя главами, 10 и 11, связанными с теоремой Коши о том, что многогранники с плоскими гранями образуют жесткие структуры , и описанием различий между жесткостью и бесконечно малой жесткостью многогранников, разработанной аналогично теореме Коши о жесткости Макс Ден . [1] [4]
В английском издании 2005 года добавлены комментарии и библиографическая информация относительно многих проблем, которые были представлены как открытые в издании 1950 года, но впоследствии были решены. Он также включает в главу дополнительных материалов переводы трех связанных статей Волкова и Шора: [4] включая упрощенное доказательство теорем Погорелова, обобщающих теорему единственности Александрова на неполиэдральные выпуклые поверхности. [5]
Аудитория и прием
[ редактировать ]Роберт Коннелли пишет, что для работы, описывающей важные достижения в теории выпуклых многогранников, которые, однако, были труднодоступны на Западе, английский перевод « Выпуклых многогранников» давно назрел. Он называет материал по теореме единственности Александрова «звездным результатом в книге» и пишет, что книга «оказала большое влияние на бесчисленное количество русских математиков». Тем не менее, он жалуется на небольшое количество упражнений в книге и на непоследовательный уровень изложения, в котором не удается отличить важные и базовые результаты от специализированных технических деталей. [5]
предназначена для широкой математической аудитории, Несмотря на то, что книга «Выпуклые многогранники» она предполагает значительный уровень базовых знаний в таких материалах, как топология , дифференциальная геометрия и линейная алгебра . [6] Рецензент Василий Горьковий рекомендует «Выпуклые многогранники» студентам и профессиональным математикам в качестве введения в математику выпуклых многогранников. Он также пишет, что спустя более 50 лет после первоначальной публикации «он по-прежнему представляет большой интерес для специалистов» после обновления, включающего множество новых разработок и списка новых открытых проблем в этой области. [4]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и ж г Busemann, H. , "Review of Выпуклые многогранники ", Mathematical Reviews , MR 0040677
- ^ Kaloujnine, L. , "Review of Выпуклые многогранники ", zbMATH (in German), Zbl 0041.50901
- ^ Збл 0079.16303
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и ж Горькавий Василий, "Обзор выпуклых многогранников ", zbMATH , Zbl 1067.52011
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Коннелли, Роберт (март 2006 г.), «Обзор выпуклых многогранников » (PDF) , SIAM Review , 48 (1): 157–160, doi : 10.1137/SIREAD000048000001000149000001 , JSTOR 20453762 , заархивировано из оригинала (PDF) 2017 г. -08 -30
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Руане, PN (ноябрь 2006 г.), «Обзор выпуклых многогранников », The Mathematical Gazette , 90 (519): 557–558, doi : 10.1017/S002555720018074X , JSTOR 40378241