Полупространство (геометрия)

В геометрии полупространство плоскость — это одна из двух частей, на которые делит трёхмерное евклидово пространство . Если пространство двумерно , то полупространство называется полуплоскостью (открытой или замкнутой). Полупространство в одномерном пространстве называется полупрямой или лучом .

В более общем смысле полупространство — это одна из двух частей, на которые гиперплоскость делит аффинное пространство . То есть точки, не инцидентные гиперплоскости, разбиваются на два выпуклых множества (т. е. полупространства), так что любое подпространство, соединяющее точку в одном наборе с точкой в ​​другом, должно пересекать гиперплоскость.

Полупространство может быть открытым или закрытым . Открытое полупространство — это одно из двух открытых множеств , возникающих в результате вычитания гиперплоскости из аффинного пространства. — Замкнутое полупространство это объединение открытого полупространства и определяющей его гиперплоскости.

Открытое (закрытое) верхнее полупространство — это полупространство всех ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) таких, что x _n > 0 (≥ 0). Открытое (закрытое) нижнее полупространство определяется аналогично, требуя, чтобы x _n было отрицательным (неположительным).

Полупространство может быть задано линейным неравенством, полученным из линейного уравнения , определяющего определяющую гиперплоскость. Строгое линейное неравенство задает открытое полупространство:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b$

Нестрогий определяет замкнутое полупространство:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\geq b$

Здесь предполагается, что не все действительные числа a ₁ , a ₂ , ..., a _n равны нулю.

Полупространство — это выпуклое множество .

См. также

• Полусфера (геометрия)
• Линия (геометрия)
• Модель полуплоскости Пуанкаре
• Верхнее полупространство Зигеля
• Nef многоугольник , построение многогранников с использованием полупространств.

Внешние ссылки

• «Полуплоскость» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Полупространство» . Математический мир .