Задача Минковского для многогранников

В геометрии выпуклых многогранников проблема Минковского для многогранников касается задания формы многогранника направлениями и мерами его граней . ^[1] Теорема о том, что каждый многогранник однозначно определяется с точностью до перевода этой информации, была доказана Германом Минковским ; ее назвали «теоремой Минковского», хотя то же название было дано нескольким несвязанным результатам Минковского. ^[2] Задачу Минковского для многогранников следует также отличать от задачи Минковского о задании выпуклых форм по их кривизне.

Спецификация и необходимые условия

Для любого $d$ -мерного многогранника, его набор фасетных направлений и мер можно определить конечным набором $d$ -мерные ненулевые векторы , по одному на фасет, направленные перпендикулярно наружу от фасета, с длиной, равной $(d-1)$ -мерная мера его грани. ^[3] Чтобы быть допустимой спецификацией ограниченного многогранника, эти векторы должны охватывать всю его длину. $d$ -мерное пространство, и никакие два не могут быть параллельными с одним и тем же знаком. Кроме того, их сумма должна быть равна нулю; это требование соответствует наблюдению, что, когда многогранник проецируется перпендикулярно на любую гиперплоскость , проецируемая мера его верхних и нижних граней должна быть равна, поскольку верхние грани проецируются на тот же набор, что и нижние грани. ^[1]

Теорема Минковского о единственности

Это теорема Германа Минковского о том, что эти необходимые условия являются достаточными: каждый конечный набор векторов, охватывающий все пространство, не имеет двух параллельных с одним и тем же знаком и имеет нулевую сумму, описывает фасетные направления и меры многогранника. Более того, форма этого многогранника однозначно определяется этой информацией: каждые два многогранника, порождающие один и тот же набор векторов, являются переводами друг друга.

суммы Бляшке

Наборы векторов, представляющие два многогранника, можно сложить, объединив два набора и, если два набора содержат параллельные векторы с одним и тем же знаком, заменив их их суммой. Полученная в результате операция над фигурами многогранников называется суммой Бляшке . Его можно использовать для разложения произвольных многогранников на симплексы , а центрально-симметричных многогранников на параллелоэдры . ^[2]

Обобщения

Имея определенную дополнительную информацию (включая разделение направления и размера фасета на единичный вектор и действительное число, которое может быть отрицательным, предоставляя дополнительный бит информации на фасет), можно обобщить эти результаты существования и уникальности на определенные классы не -выпуклые многогранники. ^[4]

Также возможно однозначно указать трехмерные многогранники по направлению и периметру их граней. Теорема Минковского и уникальность этой спецификации по направлению и периметру имеют общее обобщение: всякий раз, когда два трехмерных выпуклых многогранника обладают свойством, что их грани имеют одинаковые направления, и ни одна грань одного многогранника не может быть переведена в правильное подмножество грани при том же направлении другого многогранника, два многогранника должны быть смещены друг относительно друга. Однако эта версия теоремы не распространяется на более высокие размерности. ^[4]^[5]

См. также

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Клейн, Дэниел А. (2004), «Проблема Минковского для многогранников», Успехи в математике , 185 (2): 270–288, doi : 10.1016/j.aim.2003.07.001 , MR 2060470
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Грюнбаум, Бранко (2003), «15.3 Сложение Бляшке», Выпуклые многогранники , Тексты для выпускников по математике , том. 221 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 331–337, doi : 10.1007/978-1-4613-0019-9 , ISBN. 0-387-00424-6 , МР 1976856
^ Это описание того, как указать направления и меры, следует Грюнбауму (2003) ; Клайн (2004) и Александров (2004) используют несколько разную информацию.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Александров, Виктор (2004), «Теоремы типа Минковского и типа Александрова для многогранных гериссонов», Geometriae Dedicata , 107 : 169–186, arXiv : math/0211286 , doi : 10.1007/s10711-004-4090-3 , MR 2110761
^ Александров, А.Д. (2005), Выпуклые многогранники , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-23158-7 , МР 2127379 ; см., в частности, главу 6 «Условия сравнения многогранников с параллельными гранями», стр. 271–310, и главу 7 «Теоремы существования многогранников с заданными направлениями граней», стр. 311–348.

[klain-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Клейн, Дэниел А. (2004), «Проблема Минковского для многогранников», Успехи в математике , 185 (2): 270–288, doi : 10.1016/j.aim.2003.07.001 , MR 2060470

[grunbaum-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Грюнбаум, Бранко (2003), «15.3 Сложение Бляшке», Выпуклые многогранники , Тексты для выпускников по математике , том. 221 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 331–337, doi : 10.1007/978-1-4613-0019-9 , ISBN. 0-387-00424-6 , МР 1976856

[3] Это описание того, как указать направления и меры, следует Грюнбауму (2003) ; Клайн (2004) и Александров (2004) используют несколько разную информацию.

[herisson-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Александров, Виктор (2004), «Теоремы типа Минковского и типа Александрова для многогранных гериссонов», Geometriae Dedicata , 107 : 169–186, arXiv : math/0211286 , doi : 10.1007/s10711-004-4090-3 , MR 2110761

[ada-5] Александров, А.Д. (2005), Выпуклые многогранники , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-23158-7 , МР 2127379 ; см., в частности, главу 6 «Условия сравнения многогранников с параллельными гранями», стр. 271–310, и главу 7 «Теоремы существования многогранников с заданными направлениями граней», стр. 311–348.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]