сумма Бляшке

В выпуклой геометрии и геометрии выпуклых многогранников сумма Бляшке двух многогранников представляет собой многогранник, который имеет грань, параллельную каждой грани двух данных многогранников, с одинаковой мерой . Когда оба многогранника имеют параллельные фасеты, мера соответствующей фасеты в сумме Бляшке равна сумме мер двух данных многогранников.

Суммы Бляшке существуют и единственны с точностью до трансляции , что можно доказать с помощью теории проблемы Минковского для многогранников . Их можно использовать для разложения произвольных многогранников на симплексы , а центрально-симметричных многогранников на параллелоэдры .

Хотя суммы Бляшке многогранников неявно используются в работах Германа Минковского , суммы Бляшке названы в честь Вильгельма Бляшке , который определил соответствующую операцию для гладких выпуклых множеств. Операцию суммы Бляшке можно распространить на произвольные выпуклые тела, обобщая как многогранный, так и гладкий случаи, используя меры на отображении Гаусса .

Определение

Для любого $d$-мерного многогранника, его набор фасетных направлений и мер можно определить конечным набором $d$-мерные ненулевые векторы , по одному на фасет, направленные перпендикулярно наружу от фасета, с длиной, равной $(d-1)$-мерная мера его грани. Как доказал Герман Минковский , конечное множество ненулевых векторов описывает многогранник таким образом тогда и только тогда, когда он охватывает весь $d$В -мерном пространстве никакие два вектора не лежат на одной прямой с одинаковым знаком, а сумма множества является нулевым вектором. Многогранник, описываемый этим набором, имеет уникальную форму в том смысле, что любые два многогранника, описываемые одним и тем же набором векторов, являются трансляциями друг друга.

Сумма Бляшке $X\#Y$ из двух многогранников $X$ и $Y$ определяется путем объединения векторов, описывающих их фасетные направления и меры, очевидным способом: образуют объединение двух наборов векторов, за исключением того, что, когда оба набора содержат векторы, которые параллельны и имеют один и тот же знак, заменяют каждую такую ​​пару параллельных векторов. векторы по его сумме. Эта операция сохраняет необходимые условия теоремы Минковского о существовании многогранника, описываемого результирующим набором векторов, и этот многогранник является суммой Бляшке. Два многогранника не обязательно должны иметь одинаковую размерность друг с другом, если они оба определены в общем пространстве достаточно высокой размерности, чтобы содержать оба: многогранники меньшей размерности в пространстве более высокой размерности определяются одинаковым образом множествами векторов, которые охватывают подпространство более низкой размерности пространства более высокой размерности, и эти наборы векторов можно комбинировать независимо от размеров пространств, которые они охватывают.

Для выпуклых многоугольников и отрезков в евклидовой плоскости их сумма Бляшке совпадает с их суммой Минковского .

Разложение

Суммы Бляшке можно использовать для разложения многогранников на более простые многогранники. В частности, каждый $d$-мерный выпуклый многогранник с $n$ фасеты можно представить в виде суммы Бляшке не более $n-d$ симплексы (не обязательно одной размерности). Каждый $d$-мерный центрально-симметричный выпуклый многогранник можно представить как сумму Бляшке параллелоэдров . И каждый $d$-мерный выпуклый многогранник можно представить в виде суммы Бляшке $d$-мерные выпуклые многогранники, каждый из которых имеет не более $2d$ грани.

Обобщения

Сумма Бляшке может быть расширена от многогранников до произвольных ограниченных выпуклых множеств, представляя объем поверхности в каждом направлении с использованием меры на карте Гаусса набора вместо использования конечного набора векторов и добавляя наборы путем добавления их мер. Если два тела постоянной яркости , в результате получится еще одно тело постоянной яркости. таким образом соединить

Неравенство Кнезера – Зюсса

Объем $V(X\#Y)$ суммы двух Бляшке $d$-мерные многогранники или выпуклые тела $X$ и $Y$ подчиняется неравенству, известному как неравенство Кнезера-Зюсса , аналог теоремы Брунна-Минковского об объемах сумм Минковского выпуклых тел:

$V(X\#Y)^{(d-1)/d}\geq V(X)^{(d-1)/d}+V(Y)^{(d-1)/d}.$