Теорема Коши (геометрия)
Теорема Коши — теорема в геометрии , названная в честь Огюстена Коши . В нем говорится, что выпуклые многогранники в трех измерениях с конгруэнтными соответствующими гранями должны быть конгруэнтны друг другу. То есть любая многогранная сетка, образованная развертыванием граней многогранника на плоскую поверхность, вместе с инструкциями по склейке, описывающими, какие грани должны быть соединены друг с другом, однозначно определяет форму исходного многогранника. Например, если шесть квадратов соединены по схеме куба, то они должны образовывать куб: не существует выпуклого многогранника с шестью квадратными гранями, соединенными одинаково, который не имел бы одинаковой формы.
Это фундаментальный результат теории жесткости : одним из следствий теоремы является то, что если построить физическую модель выпуклого многогранника , соединив вместе жесткие пластины для каждой из граней многогранника гибкими шарнирами вдоль ребер многогранника, то этот ансамбль из пластины и петли обязательно будут образовывать жесткую конструкцию.
Заявление
[ редактировать ]
Пусть P и Q — комбинаторно эквивалентные трехмерные выпуклые многогранники; то есть они являются выпуклыми многогранниками с изоморфными решетками граней . Предположим далее, что каждая пара соответствующих граней из P и Q конгруэнтна друг другу, т.е. равна с точностью до жесткого движения. Тогда P и Q сами конгруэнтны.
Чтобы убедиться в необходимости выпуклости, рассмотрим правильный икосаэдр . Можно «вставить» вершину, чтобы создать невыпуклый многогранник, который по-прежнему комбинаторно эквивалентен правильному икосаэдру; то есть можно взять пять граней икосаэдра, встречающихся в вершине, образующих стороны пятиугольной пирамиды , и отразить пирамиду относительно ее основания.
История
[ редактировать ]Результат возник в » Евклида «Началах , где тела называются равными, если то же самое справедливо для их граней. Эта версия результата была доказана Коши в 1813 году на основе более ранней работы Лагранжа . Ошибку в доказательстве Коши основной леммы исправили Эрнст Стейниц , Исаак Якоб Шёнберг и Александр Данилович Александров . Исправленное доказательство Коши настолько короткое и изящное, что его считают одним из доказательств из КНИГИ . [ 1 ]
Обобщения и связанные с ними результаты
[ редактировать ]- Результат не справедлив на плоскости и для невыпуклых многогранников в : существуют невыпуклые гибкие многогранники , имеющие одну или несколько степеней свободы движения, сохраняющие форму своих граней. В частности, октаэдры Брикара — это самопересекающиеся гибкие поверхности, открытые французским математиком Раулем Брикаром в 1897 году. Сфера Коннелли — гибкий невыпуклый многогранник, гомеоморфный 2-сфере, — была открыта Робертом Коннелли в 1977 году. [ 2 ] [ 3 ]
- (1950) распространил ее на размерности выше трех Хотя первоначально теорема была доказана Коши в трех измерениях, Александров .
- Теорема Коши о жесткости является следствием теоремы Коши, утверждающей, что выпуклый многогранник не может быть деформирован так, чтобы его грани оставались жесткими.
- В 1974 году Герман Глюк показал, что в определенном точном смысле почти все односвязные замкнутые поверхности являются жесткими. [ 4 ]
- Теорема Дена о жесткости является расширением теоремы Коши о жесткости на бесконечно малую жесткость. Этот результат был получен Деном в 1916 году.
- Теорема единственности Александрова - это результат Александрова (1950), обобщающего теорему Коши, показывающего, что выпуклые многогранники однозначно описываются метрическими пространствами геодезических на их поверхности. Аналогичная теорема единственности для гладких поверхностей была доказана Кон-Фоссеном в 1927 году. Теорема единственности Погорелова представляет собой результат Погорелова , обобщающий оба этих результата и применимый к выпуклым поверхностям общего вида.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Айгнер, Мартин; Циглер, Гюнтер М. (2014). Доказательства из КНИГИ . Спрингер. стр. 91–93. ISBN 9783540404606 .
- ^ Коннелли, Роберт (1977). «Контрпример к гипотезе о жесткости многогранников» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 47 : 333–338. дои : 10.1007/BF02684342 . ISSN 0073-8301 . S2CID 122968997 .
- ^ Коннелли, Роберт (1979). «Жесткость многогранных поверхностей». Журнал «Математика» . 52 (5): 275–283. дои : 10.2307/2689778 . JSTOR 2689778 .
- ^ Глюк, Герман (1975). «Почти все односвязные замкнутые поверхности являются жесткими». В Глейзере Лесли Кертис; Рашинг, Томас Бенджамин (ред.). Геометрическая топология . Конспект лекций по математике. Том. 438. Шпрингер Берлин Гейдельберг. стр. 225–239. дои : 10.1007/bfb0066118 . ISBN 9783540374121 .
- А. Л. Коши, «Исследование многогранников – первые мемуары», Journal de l’École Polytechnique 9 (1813), 66–86.
- Макс Ден , «О жесткости выпуклых многогранников» (на немецком языке), Math. 77 (1916), 466–473.
- Aleksandr Danilovich Aleksandrov , Convex polyhedra , GTI, Moscow, 1950. English translation: Springer, Berlin, 2005.
- Джеймс Дж. Стокер , «Геометрические задачи, касающиеся многогранников в целом», Comm. Чистое приложение. Математика. 21 (1968), 119–168.
- Роберт Коннелли , «Жесткость», в «Справочнике по выпуклой геометрии» , том. А, 223–271, Северная Голландия, Амстердам, 1993.