Октаэдр Брикара
В геометрии октаэдр Брикара является членом семейства гибких многогранников, построенных Раулем Брикаром в 1897 году. [1] Общая форма одного из этих многогранников может изменяться в непрерывном движении без каких-либо изменений ни в длине его ребер, ни в форме его граней. [2] Эти октаэдры были первыми открытыми гибкими многогранниками. [3]
Октаэдры Брикара имеют шесть вершин, двенадцать ребер и восемь треугольных граней, соединенных так же, как и правильный октаэдр . В отличие от правильного октаэдра, все октаэдры Брикара представляют собой невыпуклые самопересекающиеся многогранники. По теореме Коши о жесткости гибкий многогранник должен быть невыпуклым, [3] но существуют и другие изгибаемые многогранники без самопересечений. Чтобы избежать самопересечений, требуется больше вершин (не менее девяти), чем шесть вершин октаэдров Брикара. [4]
В своей публикации, описывающей эти октаэдры, Брикар полностью классифицировал гибкие октаэдры. Его работы в этой области позже стали предметом лекций Анри Лебега в Коллеж де Франс . [5]
Строительство
[ редактировать ]Октаэдр Брикара может быть образован из трех пар точек, каждая из которых симметрична вокруг общей оси вращательной симметрии 180 °, при этом ни одна плоскость не содержит все шесть точек. Эти точки образуют вершины октаэдра. Треугольные грани октаэдра имеют по одной точке от каждой из трёх симметричных пар. Для каждой пары существует два способа выбора одной точки из пары, поэтому всего треугольных граней восемь. Ребра октаэдра являются сторонами этих треугольников и включают в себя по одной точке от каждой из двух симметричных пар. Всего 12 ребер образуют октаэдрический граф K 2,2,2 . [2] [6]
Например, шесть точек (0,0,±1), (0,±1,0) и (±1,0,0) образуют вершины правильного октаэдра, причем каждая точка в октаэдре противоположна его отрицание, но это не гибко. Вместо этого эти же шесть точек можно соединить по-разному, чтобы сформировать октаэдр Брикара с диагональной осью симметрии. Если эта ось выбрана как линия, проходящая через начало координат и точку (0,1,1), то три симметричные пары точек для этой оси будут(0,0,1)—(0,1,0), (0,0,−1)—(0,−1,0) и (1,0,0)—(−1,0,0 ). Получившийся октаэдр Брикара напоминает одну из крайних конфигураций второй анимации, имеющую экваториальный антипараллелограмм .
В качестве связи
[ редактировать ]Также можно представить октаэдр Брикара как механическую связь, состоящую из двенадцати ребер, соединенных гибкими соединениями в вершинах, без граней. Исключение граней исключает самопересечения для многих (но не всех) позиций этих октаэдров. Полученная кинематическая цепь имеет одну степень свободы движения, такую же, как и многогранник, из которого она получена. [7]
Объяснение
[ редактировать ]Четырехугольники , образованные ребрами между точками любых двух симметричных пар точек, можно рассматривать как экваторы октаэдра. Эти экваторы обладают тем свойством (в силу своей симметрии), что противоположные пары сторон четырехугольника имеют одинаковую длину. Каждый четырехугольник с противоположными парами равных сторон, вложенный в евклидово пространство , обладает осевой симметрией, а некоторые (например, прямоугольник) помимо этого имеют и другие симметрии. Если разрезать октаэдр Брикара на две пирамиды с открытым дном , разрезав его по одному из экваторов, обе эти открытые пирамиды могут сгибаться, и изгибающее движение можно совершить для сохранения оси симметрии всей формы. Но из-за симметрии конструкции изгибающие движения этих двух открытых пирамид одинаково перемещают экватор, по которому они были разрезаны. Следовательно, их можно склеить обратно в единое изгибающее движение всего октаэдра. [2] [6]
Свойство иметь противоположные стороны одинаковой длины справедливо для прямоугольника , параллелограмма и антипараллелограмма , и можно построить октаэдры Брикара, имеющие любую из этих плоских форм в качестве экваторов.Однако экватор октаэдра Брикара не обязательно лежит в плоскости; вместо этого это может быть перекошенный четырехугольник . Даже для октаэдров Брикара, построенных по плоскому экватору, экватор обычно не остается плоским при изгибе октаэдра. [2] Однако для некоторых октаэдров Брикара, таких как октаэдр с антипараллелограммным экватором, показанный на иллюстрации, симметрия многогранника приводит к тому, что его экватор всегда остается плоским.
Дополнительные свойства
[ редактировать ]любого Инвариант Дена октаэдра Брикара остается постоянным, пока он совершает изгибающее движение. [8] Это же свойство доказано для всех несамопересекающихся гибких многогранников. [9] Однако существуют другие самопересекающиеся гибкие многогранники, для которых инвариант Дена непрерывно меняется по мере их изгибания. [10]
Расширения
[ редактировать ]Можно изменить многогранники Брикара, добавив больше граней, чтобы переместить самопересекающиеся части многогранника друг от друга, сохраняя при этом возможность изгибаться. Самая простая из этих модификаций — открытый Клаусом Штеффеном многогранник с девятью вершинами и 14 треугольными гранями. [2] Многогранник Штеффена — это простейший гибкий многогранник без самопересечений. [4]
Соединяя вместе несколько фигур, полученных из октаэдра Брикара, можно построить рога в форме жесткие формы оригами , форма которых очерчивает сложные пространственные кривые . [11]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Брикар, Рауль (1897), «Мемуары по теории сочлененного октаэдра» , Журнал чистой и прикладной математики , 5 и серия (на французском языке), 3 : 113–150 . Переведено как «Мемуары по теории шарнирно-сочлененного октаэдра» , 2010 г. Э. А. Куциасом
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и Коннелли, Роберт (1981), «Гибкие поверхности», в Кларнере, Дэвиде А. (редактор), The Mathematical Gardner , Springer, стр. 79–89, doi : 10.1007/978-1-4684-6686-7_10 , ISBN 978-1-4684-6688-1 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Стюарт, Ян (2004), Математическая истерия: развлечения и игры с математикой , Оксфорд: Oxford University Press, стр. 116, ISBN 9780191647451 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Демейн, Эрик Д .; О'Рурк, Джозеф (2007), «23.2 Гибкие многогранники», Геометрические алгоритмы складывания: связи, оригами, многогранники , Cambridge University Press, Кембридж, стр. 345–348, doi : 10.1017/CBO9780511735172 , ISBN 978-0-521-85757-4 , МР 2354878 .
- ^ Лебег Х. , «Октаэдрические статьи Брикара», Enseign. Математика. , Серия 2 (на французском языке), 13 (3): 175–185, doi : 10.5169/seals-41541.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Фукс, Дмитрий; Табачников, Серж (2007), Математический омнибус: Тридцать лекций по классической математике , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 347, номер домена : 10.1090/mbk/046 , ISBN 978-0-8218-4316-1 , МР 2350979 .
- ^ Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 239, ISBN 0-521-55432-2 , МР 1458063 .
- ^ Александров, Виктор (2010), «Инварианты Дена октаэдров Брикара», Journal of Geometry , 99 (1–2): 1–13, arXiv : 0901.2989 , doi : 10.1007/s00022-011-0061-7 , MR 2823098 .
- ^ Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S. (2018), "Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra", Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova , 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, doi : 10.1134/S0371968518030068 , ISBN 5-7846-0147-4 , МР 3894642
- ^ Александров, Виктор; Коннелли, Роберт (2011), «Гибкие подвески с шестиугольным экватором», Illinois Journal of Mathematics , 55 (1): 127–155, arXiv : 0905.3683 , doi : 10.1215/ijm/1355927031 , MR 3006683 .
- ^ Тачи, Томохиро (2016), «Проектирование жестко складных рогов с использованием октаэдра Брикара», Журнал механизмов и робототехники , 8 (3): 031008, doi : 10.1115/1.4031717 .