Проблема со складыванием салфетки
— Задача складывания салфетки это задача по геометрии и математике складывания бумаги , которая исследует, может ли складывание квадратной или прямоугольной салфетки увеличить ее периметр . Проблема известна под несколькими названиями, в том числе проблема салфетки Маргулиса , предполагающая, что она связана с Григорием Маргулисом , и проблема рубля Арнольда, относящаяся к Владимиру Арнольду и складыванию российского рубля банкноты . Некоторые версии задачи были решены Робертом Дж. Лангом , Светланой Крат , Алексеем Тарасовым и Иваном Ященко . Одна из форм проблемы остается открытой.
Составы
[ редактировать ]Существует несколько способов определения понятия складывания , дающих разные интерпретации. По соглашению салфетка всегда представляет собой единичный квадрат .
Сгибание по прямой линии
[ редактировать ]Если рассматривать складку как отражение вдоль линии, отражающей все слои салфетки, то периметр всегда не увеличивается и, следовательно, никогда не превышает 4. [1] [2]
Рассматривая более общие складки, которые, возможно, отражают только один слой салфетки (в этом случае каждая складка представляет собой отражение связного компонента сложенной салфетки с одной стороны прямой), остается открытым, если последовательность этих складки позволяют увеличить периметр. [3] Другими словами, до сих пор неизвестно, существует ли решение, которое можно сложить, используя некоторую комбинацию горных складок, долинных складок, обратных складок и/или складок опускания (причем в последних двух случаях все складки формируются по одной линии). ). Также неизвестно, конечно, возможно ли такое сгибание с использованием более строгого оригами из чистой земли .
Складывание без растягивания
[ редактировать ]Можно попросить реализовать реализуемую конструкцию в рамках жесткого оригами , где салфетка никогда не растягивается в сложенном виде. В 2004 году А. Тарасов показал, что такие конструкции действительно можно получить. Это можно считать полным решением исходной проблемы. [4]
Где важен только результат
[ редактировать ] |
Можно спросить, существует ли сложенная плоская салфетка (не обращая внимания на то, как она была свернута в такую форму).
Роберт Дж. Лэнг показал в 1997 году. [2] что несколько классических конструкций оригами приводят к простому решению. [5] Фактически, Ланг показал, что периметр можно сделать сколь угодно большим, усложнив конструкцию, но при этом получить плоское сложенное решение. Однако его конструкции не обязательно представляют собой жесткое оригами из-за использования складок-раковин и связанных с ними форм. Хотя растягивание не требуется в складках «вниз» и «вниз», часто (хотя и не всегда) необходимо изогнуть грани и/или непрерывно провести одну или несколько складок по бумаге на промежуточных этапах, прежде чем получить ровный результат. Существует ли общее жестко складное решение на основе стоковых складок — открытая проблема. [ нужна ссылка ]
В 1998 году И. Ященко построил трехмерную складку с проекцией на плоскость, имеющую больший периметр. [6] Это указало математикам на то, что, вероятно, существует плоское сложенное решение проблемы. [ нужна ссылка ]
К такому же выводу пришла Светлана Крат. [7] Ее подход иной: она дает очень простую конструкцию «смятия», увеличивающего периметр, а затем доказывает, что любое «смятие» можно сколь угодно хорошо аппроксимировать «складкой». По сути, она показывает, что точные детали того, как делать складки, не имеют большого значения, если на промежуточных этапах разрешено растягивание. [ нужна ссылка ]
Решения
[ редактировать ]Решения Ланга
[ редактировать ]
Ланг предложил два разных решения. [5] [8] Оба имели тонущие закрылки и поэтому не обязательно были жестко складными. Самый простой был основан на основе птицы-оригами и дал решение с периметром около 4,12 по сравнению с исходным периметром 4.
Второе решение можно использовать, чтобы сделать фигуру с любым периметром. Он делит квадрат на большое количество меньших квадратов и использует конструкцию оригами типа « морского ежа », описанную в его книге 1990 года «Оригами Морская жизнь ». [8] Показанный рисунок сгиба представляет собой случай n = 5, и его можно использовать для создания плоской фигуры с 25 клапанами, по одному на каждый из больших кругов, а утопление используется для их утончения. Когда он очень тонкий, 25 рукавов дадут 25-конечную звезду с маленьким центром и периметром, приближающимся к N. 2 /( N − 1). В случае N = 5 это около 6,25, а общая длина увеличивается примерно N. как
История
[ редактировать ]Арнольд утверждает в своей книге, что он сформулировал проблему в 1956 году, но формулировку намеренно оставили расплывчатой. [1] [9] Он назвал ее «проблемой смятого рубля», и это была первая из многих интересных задач, которые он ставил на семинарах в Москве за 40 лет. На Западе эта проблема стала известна как проблема салфеток Маргулиса после публикации Джима Проппа в группе новостей в 1996 году. [2] Несмотря на внимание, он получил статус фольклора , а его происхождение часто называют «неизвестным». [6]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Арнольд, Владимир Игоревич (2005). Проблемы Арнольда . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-20748-1 .
- ^ Jump up to: а б с «Проблема салфетки Маргулис, обсуждение в группе новостей 1996 года» . Свалка геометрии .
- ^ Petrunin, Anton (2008). "Arnold's problem on paper folding". Zadachi Sankt-peterburgskoj Matematicheskoj Olimpiady Shkol'nikov Po Matematike (in Russian). arXiv : 1004.0545 . Bibcode : 2010arXiv1004.0545P .
- ^ Тарасов А.С. (2004). «Решение задачи Арнольда о «сложенном рубле»» . Чебышевский сборник . 5 (1): 174–187. Архивировано из оригинала 25 августа 2007 г.
- ^ Jump up to: а б Ланг, Роберт Дж. (2003). Секреты дизайна оригами: математические методы в древнем искусстве . АК Петерс . стр. 315–319 . ISBN 9781568811949 .
- ^ Jump up to: а б Ященко И. (1998). «Сделайте свой доллар больше сейчас!!!». Математика. Интеллигент . 20 (2): 38–40. дои : 10.1007/BF03025296 . S2CID 124667472 .
- ^ С. Крат, Проблемы аппроксимации в геометрии длины, доктор философии. диссертация, Государственный университет Пенсильвании, 2005 г.
- ^ Jump up to: а б Монтролл, Джон и Роберт Дж. Лэнг (1990). Оригами Морская жизнь . Дуврские публикации . стр. 195–201.
- ^ Табачников, Сергей (2007). «Рецензия на книгу «Задачи Арнольда» » (PDF) . Математика. Интеллигент . 29 (1): 49–52. дои : 10.1007/BF02984760 . S2CID 120833539 .