Черный фонарь

Фонарь Шварца на выставке в Немецком технологическом музее в Берлине.

В математике фонарь Шварца — многогранное приближение к цилиндру , используемое как патологический пример трудности определения площади гладкой (искривленной) поверхности как предела площадей многогранников. Оно образовано сложенными друг на друга кольцами равнобедренных треугольников , расположенных внутри каждого кольца по той же схеме, что и антипризма . Полученную форму можно сложить из бумаги, и она названа в честь математика Германа Шварца и за сходство с цилиндрическим бумажным фонарем . Он также известен как ботинок Шварца . Многогранник Шварца , или китайский фонарик .

Как показал Шварц, для того, чтобы площадь поверхности многогранника сходилась с площадью поверхности искривленной поверхности, недостаточно просто увеличить количество колец и количество равнобедренных треугольников на кольцо. В зависимости от отношения числа колец к числу треугольников в одном кольце площадь фонаря может сходиться к площади цилиндра, к пределу, сколь угодно большему площади цилиндра, или к бесконечности, т. е. к бесконечности. , площадь может расходиться. Фонарь Шварца демонстрирует, что выборка искривленной поверхности по близко расположенным точкам и соединение их маленькими треугольниками недостаточна для обеспечения точного аппроксимации площади, в отличие от точного аппроксимации длины дуг вписанными многоугольными цепочками .

Явление, заключающееся в том, что близкая выборка точек может привести к неточным приближениям площади, называется парадоксом Шварца . Фонарь Шварца является поучительным примером в исчислении и подчеркивает необходимость осторожности при выборе триангуляции для приложений в компьютерной графике и методе конечных элементов .

История и мотивация

: Парадокс лестницы многоугольные цепи длины $2$ сходятся по расстоянию к диагональному отрезку длины ${\sqrt {2}}$, не сходясь к одной и той же длине.

Архимед аппроксимировал длину окружности длинами вписанных или описанных правильных многоугольников. В более общем смысле длину любой гладкой или спрямляемой кривой можно определить как верхнюю границу длин многоугольных цепей . вписанных в нее Однако, чтобы это работало правильно, вершины ломаных цепочек должны лежать на заданной кривой, а не просто рядом с ней. В противном случае, в контрпримере, иногда известном как парадокс лестницы , многоугольные цепочки вертикальных и горизонтальных отрезков общей длины $2$ может лежать сколь угодно близко к диагональному отрезку длины ${\sqrt {2}}$, сходящиеся по расстоянию к диагональному отрезку, но не сходящиеся к одной и той же длине. Фонарь Шварца представляет собой противоположный пример площади поверхности , а не длины. и показывает, что для площади требования, чтобы вершины лежали на аппроксимируемой поверхности, недостаточно для обеспечения точной аппроксимации.

Герман Блэк

Немецкий математик Герман Шварц (1843–1921) разработал свою конструкцию в конце 19 века. в качестве контрпримера к ошибочному определению в книге Ж. А. Серре 1868 года Cours de Calcul Differentiel et Integral , где неверно указано, что:

Рассмотрим часть искривленной поверхности, оканчивающуюся контуром . $C$; площадь этой поверхности назовем пределом $S$ к которому стремится площадь вписанной многогранной поверхности, образованной треугольными гранями и заканчивающейся многоугольным контуром $\Gamma$ имея в качестве ограничения контур $C$.

Необходимо доказать, что предел $S$ существует и что он не зависит от закона убывания граней вписанной многогранной поверхности.

Пусть участок искривленной поверхности ограничен контуром $C$; мы определим площадь этой поверхности как предел $S$ стремится к площади вписанной многогранной поверхности, образованной треугольными гранями и ограниченной многоугольным контуром $\Gamma$ пределом которого является контур $C$.

Необходимо показать, что предел $S$ существует и что он не зависит от закона сжатия граней вписанной многогранной поверхности.

Независимо от Шварца Джузеппе Пеано нашел тот же контрпример. В то время Пеано был учеником Анджело Дженокки , который из общения со Шварцем уже знал о трудности определения площади поверхности. Дженокки сообщил об этом Чарльзу Эрмиту , который использовал в своем курсе ошибочное определение Серре. Эрмит попросил Шварца рассказать о деталях, пересмотрел его курс и опубликовал пример во втором издании своих конспектов лекций (1883 г.). Оригинальная записка Шварца Эрмиту не была опубликована до второго издания собрания сочинений Шварца в 1890 году.

Поучительный пример ценности тщательных определений в исчислении . Фонарь Шварца также подчеркивает необходимость осторожного выбора триангуляции для приложений в компьютерной графике и метода конечных элементов для научного и инженерного моделирования. В компьютерной графике сцены часто описываются триангулированными поверхностями, и точная визуализация освещения этих поверхностей зависит от направления нормалей к поверхности . Неудачный выбор триангуляции, как в фонаре Шварца, может привести к образованию поверхности, напоминающей гармошку, нормали которой далеки от нормалей аппроксимируемой поверхности, а близко расположенные острые складки этой поверхности также могут вызвать проблемы с наложением спектров .

Неспособность фонарей Шварца сойтись к площади цилиндра происходит только тогда, когда они включают в себя сильно тупые треугольники с углами, близкими к 180 °. В ограниченных классах фонарей Шварца, использующих углы, не превышающие 180 °, площадь сходится к той же площади, что и цилиндр, поскольку количество треугольников возрастает до бесконечности. Метод конечных элементов в своей самой базовой форме аппроксимирует гладкую функцию (часто решение задачи физического моделирования в науке или технике) кусочно-линейной функцией на триангуляции. Пример фонаря Шварца показывает, что даже для простых функций, таких как высота цилиндра над плоскостью, проходящей через его ось, и даже когда значения функции вычисляются точно в вершинах триангуляции, триангуляция с углами, близкими к 180°, может дать очень хорошие результаты. неточные результаты моделирования. Это мотивирует методы создания сеток , в которых все углы не превышают 180°, например, нетупые сетки .

Строительство

Антипризма на основе правильного 17-угольника. Если исключить две 17-угольные грани, получится фонарь Шварца с параметрами $m=1$ и $n=17$. Другие фонари Schwarz с $n=17$ можно получить путем сложения $m$ копии этой антипризмы.

Дискретное полиэдральное приближение, рассмотренное Шварцем, может быть описано двумя параметрами: $m$, количество колец треугольников в фонаре Шварца; и $n$, половина количества треугольников в кольце. За одно кольцо ( $m=1$ , полученная поверхность состоит из треугольных граней антипризмы порядка ) $n$. Для больших значений $m$, фонарь Шварца формируется путем укладки $m$ этих антипризм. Чтобы построить фонарь Шварца, который аппроксимирует заданный прямой круглый цилиндр , цилиндр разрезают параллельными плоскостями на $m$ конгруэнтные цилиндрические кольца. Эти кольца имеют $m+1$ круговые границы — две на концах данного цилиндра и $m-1$ больше, где это было нарезано. В каждом круге $n$ вершины фонаря Шварца расположены одинаково, образуя правильный многоугольник . Эти многоугольники повернуты на угол $\pi /n$ из одного круга в другой так, чтобы каждое ребро правильного многоугольника и ближайшая вершина следующего круга образовывали основание и вершину равнобедренного треугольника. Эти треугольники встречаются от края до края, образуя фонарь Шварца — многогранную поверхность , топологически эквивалентную цилиндру.

оригами Схема складки для фонаря Шварца с $m=16$ и $n=4$

Деталь ботинка с картины «Св. Флориан» (1473 г.) Франческо дель Коссы , изображающая пряжку Ёсимуры.

Игнорируя верхнюю и нижнюю вершины, каждая вершина касается двух углов при вершине и четырех углов при основании конгруэнтных равнобедренных треугольников, как это было бы при мозаике плоскости треугольниками одинаковой формы. Как следствие, фонарь Шварца можно сложить из плоского листа бумаги, используя эту мозаику в качестве узора складок . Этот узор складок получил название узора Йошимуры . после работы Ю. Ёсимуры о схеме выпучивания Ёсимуры цилиндрических поверхностей при осевом сжатии, которая по форме может быть подобна фонарю Шварца.

Область

Площадь фонаря Шварца, для любого цилиндра и любого конкретного выбора параметров $m$ и $n$, можно вычислить простым применением тригонометрии . Цилиндр радиуса $r$ и длина $\ell$ имеет площадь $2\pi r\ell$. Для фонаря Шварца с параметрами $m$ и $n$, каждая полоса представляет собой более короткий цилиндр длиной $\ell /m$, аппроксимируется $2n$ равнобедренные треугольники . Длину основания каждого треугольника можно найти по формуле длины ребра правильного треугольника. $n$-гон, а именно $$2r\sin {\frac {\pi }{n}}.$$Высота ​ $h$ каждого треугольника можно найти, применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному вершиной треугольника, серединой основания и серединой дуги круга, ограниченной концами основания. Две стороны этого прямоугольного треугольника равны длине $\ell /m$ цилиндрической полосы и сагитты дуги, давая формулу $$h^{2}=\left({\frac {\ell }{m}}\right)^{2}+\left(r\left(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\right)\right)^{2}.$$Комбинируя формулу площади каждого треугольника, исходя из его основания и высоты, и общего числа $2mn$ треугольников, дает фонарю Шварца общую площадь $$A(m,n)=2mn\left(r\sin {\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {\left({\frac {\ell }{m}}\right)^{2}+r^{2}\left(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\right)^{2}}}.$$

Пределы

Анимация сходимости Шварц-фонаря (или его отсутствия) для различных соотношений между двумя его параметрами

Фонари Шварца при больших значениях обоих параметров сходятся равномерно к цилиндру, который они аппроксимируют. Однако поскольку имеется два свободных параметра $m$ и $n$, предельная область фонаря Шварца, так как оба $m$ и $n$ становятся сколь угодно большими, могут оцениваться в разных порядках с разными результатами. Если $m$ фиксировано, пока $n$ растет, и полученный предел затем оценивается для произвольно большого выбора $m$, получается $$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }A(m,n)=2\pi r\ell ,$$правильная область для цилиндра. В этом случае внутренний предел уже сходится к одному и тому же значению, а внешний предел является лишним. Геометрически замена каждой цилиндрической полосы полосой очень острых равнобедренных треугольников точно аппроксимирует ее площадь.

С другой стороны, изменение порядка пределов на противоположный дает $$\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }A(m,n)=\infty .$$В этом случае при фиксированном выборе $n$, как $m$ растет и длина $\ell /m$ каждой цилиндрической полосы становится сколь угодно малой, каждая соответствующая полоса равнобедренных треугольников становится почти плоской. Каждый треугольник приближается к треугольнику, образованному двумя последовательными ребрами правильного треугольника. $2n$-угольник, а площадь всей полосы треугольников приближается $2n$ умноженное на площадь одного из этих плоских треугольников, конечное число. Однако число $m$ этих полос становится сколь угодно большим; потому что площадь фонаря растет примерно пропорционально $m$, оно также становится сколь угодно большим.

Также возможно установить функциональную связь между $m$ и $n$, и исследовать предел при одновременном увеличении обоих параметров, сохраняя это соотношение. Разный выбор этого отношения может привести к любому из двух описанных выше вариантов поведения: сходимости к правильной области или расхождению к бесконечности. Например, установка $m=cn$ (для произвольной константы $c$) и принимая предел для больших $n$ приводит к сведению в нужную область, при этом устанавливая $m=cn^{3}$ приводит к расхождению. Третий тип ограничивающего поведения достигается установкой $m=cn^{2}$. Для этого выбора, $$\lim _{n\to \infty }A(cn^{2},n)=2\pi r{\sqrt {\ell ^{2}+{\frac {r^{2}\pi ^{4}c^{2}}{4}}}}.$$В этом случае параметризованная таким образом площадь фонаря Шварца сходится, но к большей величине, чем площадь цилиндра. Любую желаемую большую площадь можно получить, сделав соответствующий выбор постоянной $c$.

См. также

• Калейдоцикл , цепочка тетраэдров, соединенных ребром к ребру, как выродившийся фонарь Шварца с $n=2$
• Феномен Рунге , еще один пример неудачи конвергенции

Внешние ссылки

• Богомольный, Александр. «Объяснение фонаря Шварца» . Разрезать узел .
• Маркс, Жан-Пьер (17 сентября 2016 г.). «Шварц-фонарь» . Математические контрпримеры .