Jump to content

Лестничный парадокс

Лестницы, точечно сходящиеся к диагонали единичного квадрата, но не сходящиеся к его длине.

В математическом анализе является парадокс лестницы патологическим примером, показывающим, что пределы кривых не обязательно сохраняют свою длину . [1] Она состоит из последовательности «лестничных» многоугольных цепочек в единичном квадрате , образованных из горизонтальных и вертикальных отрезков уменьшающейся длины, так что эти лестницы равномерно сходятся к диагонали квадрата. [2] Однако каждая лестница имеет длину два, а длина диагонали равна квадратному корню из 2 , поэтому последовательность длин лестницы не сходится к длине диагонали. [3] [4] Мартин Гарднер называет это «древним геометрическим парадоксом». [5] Он показывает, что для кривых при равномерной сходимости длина кривой не является непрерывной функцией кривой. [6]

Для любой гладкой кривой ломаные цепочки с уменьшающимися до нуля длинами отрезков, соединяющие последовательные вершины вдоль кривой, всегда сходятся к длине дуги . Неспособность кривых лестницы сойтись к правильной длине можно объяснить тем, что некоторые из их вершин не лежат на диагонали. [7] В более высоких измерениях фонарь Шварца представляет собой аналогичный пример, показывающий, что многогранные поверхности, которые точечно сходятся к искривленной поверхности, не обязательно сходятся к ее площади, даже если все вершины лежат на поверхности. [8]

Помимо подчеркивания необходимости тщательного определения длины дуги в математическом образовании, [9] Парадокс находит применение в цифровой геометрии , где он определяет методы оценки периметра пиксельных фигур, которые не просто суммируют длины границ между пикселями. [10]

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Москович, Иван (2006), Задачи с циклической логикой и другие головоломки , Нью-Йорк: Sterling Publishing, стр. 23, ISBN  9780486490694
  2. ^ Фаррелл, Маргарет А. (февраль 1975 г.), «Интуитивный скачок или ненаучная ошибка?», Учитель математики , 68 (2): 149–152, doi : 10.5951/mt.68.2.0149 , JSTOR   27960047
  3. ^ Седагат, Х. (2022), Реальный анализ и бесконечность , Oxford University Press, стр. 9, ISBN  9780192895622
  4. ^ Стюарт, Ян (2017), «Диагональ квадрата», Бесконечность: очень краткое введение , Oxford University Press, стр. 43 и 54, ISBN  9780191071515
  5. ^ Томпсон, Сильванус П .; Гарднер, Мартин (1998), «Приложение: Некоторые развлекательные проблемы, связанные с математическим анализом», Calculus Made Easy , Palgrave, стр. 296–325 . См. стр. 305–306 .
  6. ^ Синицкий, Илья; Илани, Бат-Шева (2016), Изменение и инвариантность: Учебник по алгебраическому пониманию чисел и фигур , Sense Publishers, стр. 375–376, doi : 10.1007/978-94-6300-699-6 , ISBN  978-94-6300-699-6
  7. ^ Кранц, Стивен Г. (2010), «15.1: Как измерить длину кривой», Эпизодическая история математики: математическая культура через решение проблем , Учебники MAA, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. https: //books.google.com/books?id=ulmAH-6IzNoC&pg=PA249 , ISBN  978-0-88385-766-3 , МР   2604456
  8. ^ Огилви, К. Стэнли (1962), «Примечание к странице 7», Математика завтрашнего дня: нерешенные проблемы для любителей , Oxford University Press, стр. 155–161.
  9. ^ Беннетт, Альберт А. (10 февраля 1920 г.), «Предельные доказательства в геометрии» , Бюллетень для учителей математики Техаса , 5 (2): 12–22 ; см. особенно стр. 16
  10. ^ Клетте, Рейнхард; Йип, Бен (2000), «Длина цифровых кривых» , Machine Graphics and Vision , 9 (3): 673–703.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: a5595f2cde0ff3f46545e8e19fd49ba3__1704019740
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/a5/a3/a5595f2cde0ff3f46545e8e19fd49ba3.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Staircase paradox - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)