Лестничный парадокс
В математическом анализе является парадокс лестницы патологическим примером, показывающим, что пределы кривых не обязательно сохраняют свою длину . [1] Она состоит из последовательности «лестничных» многоугольных цепочек в единичном квадрате , образованных из горизонтальных и вертикальных отрезков уменьшающейся длины, так что эти лестницы равномерно сходятся к диагонали квадрата. [2] Однако каждая лестница имеет длину два, а длина диагонали равна квадратному корню из 2 , поэтому последовательность длин лестницы не сходится к длине диагонали. [3] [4] Мартин Гарднер называет это «древним геометрическим парадоксом». [5] Он показывает, что для кривых при равномерной сходимости длина кривой не является непрерывной функцией кривой. [6]
Для любой гладкой кривой ломаные цепочки с уменьшающимися до нуля длинами отрезков, соединяющие последовательные вершины вдоль кривой, всегда сходятся к длине дуги . Неспособность кривых лестницы сойтись к правильной длине можно объяснить тем, что некоторые из их вершин не лежат на диагонали. [7] В более высоких измерениях фонарь Шварца представляет собой аналогичный пример, показывающий, что многогранные поверхности, которые точечно сходятся к искривленной поверхности, не обязательно сходятся к ее площади, даже если все вершины лежат на поверхности. [8]
Помимо подчеркивания необходимости тщательного определения длины дуги в математическом образовании, [9] Парадокс находит применение в цифровой геометрии , где он определяет методы оценки периметра пиксельных фигур, которые не просто суммируют длины границ между пикселями. [10]
См. также
[ редактировать ]- Парадокс береговой линии , аналогичный парадокс, когда приближение прямого отрезка расходится.
- Алиасинг , более общее явление неточностей, вызванных пикселизацией.
- Лестница Кантора — фрактальная кривая по диагонали единичного квадрата.
- Геометрия такси , при которой длины лестничных клеток и диагонали равны.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Москович, Иван (2006), Задачи с циклической логикой и другие головоломки , Нью-Йорк: Sterling Publishing, стр. 23, ISBN 9780486490694
- ^ Фаррелл, Маргарет А. (февраль 1975 г.), «Интуитивный скачок или ненаучная ошибка?», Учитель математики , 68 (2): 149–152, doi : 10.5951/mt.68.2.0149 , JSTOR 27960047
- ^ Седагат, Х. (2022), Реальный анализ и бесконечность , Oxford University Press, стр. 9, ISBN 9780192895622
- ^ Стюарт, Ян (2017), «Диагональ квадрата», Бесконечность: очень краткое введение , Oxford University Press, стр. 43 и 54, ISBN 9780191071515
- ^ Томпсон, Сильванус П .; Гарднер, Мартин (1998), «Приложение: Некоторые развлекательные проблемы, связанные с математическим анализом», Calculus Made Easy , Palgrave, стр. 296–325 . См. стр. 305–306 .
- ^ Синицкий, Илья; Илани, Бат-Шева (2016), Изменение и инвариантность: Учебник по алгебраическому пониманию чисел и фигур , Sense Publishers, стр. 375–376, doi : 10.1007/978-94-6300-699-6 , ISBN 978-94-6300-699-6
- ^ Кранц, Стивен Г. (2010), «15.1: Как измерить длину кривой», Эпизодическая история математики: математическая культура через решение проблем , Учебники MAA, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. https: //books.google.com/books?id=ulmAH-6IzNoC&pg=PA249 , ISBN 978-0-88385-766-3 , МР 2604456
- ^ Огилви, К. Стэнли (1962), «Примечание к странице 7», Математика завтрашнего дня: нерешенные проблемы для любителей , Oxford University Press, стр. 155–161.
- ^ Беннетт, Альберт А. (10 февраля 1920 г.), «Предельные доказательства в геометрии» , Бюллетень для учителей математики Техаса , 5 (2): 12–22 ; см. особенно стр. 16
- ^ Клетте, Рейнхард; Йип, Бен (2000), «Длина цифровых кривых» , Machine Graphics and Vision , 9 (3): 673–703.