Кривая дракона

Кривая дракона — это любой член семейства самоподобных фрактальных кривых , которые можно аппроксимировать рекурсивными методами, такими как системы Линденмайера . Кривую дракона, вероятно, чаще всего рассматривают как форму, которая получается в результате многократного сгибания полоски бумаги пополам, хотя существуют и другие кривые, называемые кривыми дракона, которые генерируются по-другому.

Дорожный дракон [ править ]

Дракон Хайвея (также известный как дракон Хартера-Хайвея или дракон Парка Юрского периода ) был впервые исследован физиками НАСА Джоном Хейвеем, Брюсом Бэнксом и Уильямом Хартером. Он был описан Мартином Гарднером в его в Scientific American колонке «Математические игры» в 1967 году. Многие из его свойств были впервые опубликованы Чендлером Дэвисом и Дональдом Кнутом . Оно появилось на титульных страницах Майкла Крайтона романа «Парк Юрского периода» . ^[1]

Строительство [ править ]

Дракона шоссе можно построить из сегмента базовой линии путем многократной замены каждого сегмента двумя сегментами под прямым углом и с поворотом на 45° попеременно вправо и влево: ^[2]

Дракон шоссе также является предельным набором следующей итерированной системы функций в комплексной плоскости:

f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1-i)z}{2}}

с начальным набором точек $S_{0}=\{0,1\}$ .

Если вместо этого использовать пары действительных чисел, это то же самое, что и две функции, состоящие из

f_{1}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 45^{\circ }&-\sin 45^{\circ }\\\sin 45^{\circ }&\cos 45^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}

f_{2}(x,y)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}\cos 135^{\circ }&-\sin 135^{\circ }\\\sin 135^{\circ }&\cos 135^{\circ }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}

Складывание дракона [ править ]

Кривую дракона на шоссе можно построить, сложив полоску бумаги , именно так она была первоначально обнаружена. ^[1] Возьмите полоску бумаги и сложите ее пополам вправо. Сложите его еще раз пополам вправо. Если бы полосу развернули сейчас, разгибая каждую складку и превращая ее в поворот на 90 градусов, последовательность поворотов была бы RRL, то есть второй итерацией Дракона Хайвея. Снова согните полоску пополам вправо, и последовательность поворотов развернутой полоски теперь будет RRLRRLL — третья итерация шоссейного дракона. Продолжаем сгибать полосу пополам вправо, чтобы создать дальнейшие итерации шоссейного дракона (на практике полоса становится слишком толстой, чтобы резко сложить ее после четырех или пяти итераций).

Схемы складывания этой последовательности бумажных полосок в виде последовательности правых (R) и левых (L) складок:

1-я итерация: Р
2-я итерация: Р Р Л
3-я итерация: Р Р Л Р Р Л Л
итерация: R R L L R R L R R R L L R L L . 4- я

Каждую итерацию можно найти, скопировав предыдущую итерацию, затем букву R, а затем вторую копию предыдущей итерации в обратном порядке, поменяв местами буквы L и R. ^[1]

Свойства [ править ]

множество самоподобий В кривой дракона на шоссе можно увидеть . Наиболее очевидным является повторение одной и той же схемы под углом 45° и с коэффициентом уменьшения $\textstyle {\sqrt {2}}$ . Основываясь на этом самоподобии, многие из его длин представляют собой простые рациональные числа.

Длина

Самоподобия

Кривая дракона может замостить плоскость . Одна из возможных мозаик заменяет каждый край квадратной мозаики кривой дракона, используя рекурсивное определение дракона, начиная с отрезка линии. Начальное направление расширения каждого сегмента можно определить по раскраске квадратной плитки в шахматном порядке, расширению вертикальных сегментов на черные плитки и из белых плиток, а также расширению горизонтальных сегментов на белые плитки и из черных. ^[3]
Как несамопересекающаяся кривая, заполняющая пространство , кривая дракона имеет фрактальную размерность ровно 2. Для кривой дракона с начальной длиной сегмента 1 ее площадь равна 1/2, как видно из мозаики плоскости. ^[1]
Граница множества, покрытого кривой дракона, имеет бесконечную длину и фрактальную размерность. $2\log _{2}\lambda \approx 1.523627086202492,$ где $\lambda ={\frac {1+(28-3{\sqrt {87}})^{1/3}+(28+3{\sqrt {87}})^{1/3}}{3}}\approx 1.69562076956$ является действительным решением уравнения $\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-2=0.$ ^[4]

Двойной дракон [ править ]

Кривая Twindragon, построенная из двух драконов шоссе.

Дракон -близнец (также известный как дракон Дэвиса-Кнута ) может быть построен путем размещения двух кривых дракона Шоссе друг за другом. Это также предельный набор следующей итерируемой системы функций:

f_{1}(z)={\frac {(1+i)z}{2}}

f_{2}(z)=1-{\frac {(1+i)z}{2}}

где исходная форма определяется следующим набором $S_{0}=\{0,1,1-i\}$ .

Ее также можно записать как систему Линденмайера – для этого нужно лишь добавить еще одну секцию в исходную строку:

угол 90°
начальная строка FX+FX+
правила перезаписи строк
- Икс ↦ Х + YF
- Y ↦ FX - Y .

Это также место точек на комплексной плоскости с одной и той же целой частью при записи в системе счисления. $(-1\pm i)$ . ^[5]

Тердрагон [ править ]

Тердрагона : записать в виде системы Линденмайера можно

угол 120°
начальная строка F
правила перезаписи строк
- F ↦ F+F−F .

Это предельный набор следующей итерируемой системы функций:

f_{1}(z)=\lambda z

f_{2}(z)={\frac {i}{\sqrt {3}}}z+\lambda

f_{3}(z)=\lambda z+\lambda ^{*}

{\mbox{where }}\lambda ={\frac {1}{2}}-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ and }}\lambda ^{*}={\frac {1}{2}}+{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}.

Дракон Леви [ править ]

Кривую C Леви иногда называют драконом Леви . ^[6]

Варианты [ править ]

Кривая дракона принадлежит к базовому набору итерационных функций, состоящему из двух линий с четырьмя возможными ориентациями под перпендикулярными углами:

Изгиб	Создатели и год создания членов семьи Драконов
Кривая Леви	Эрнесто Чезаро (1906), Георг Фабер (1910), Поль Леви (1914)
Кривая дракона	Джон Хейвей (1966), Брюс Бэнкс (1966), Уильям Хартер (1966)
Дэвис Даймонд	Чендлер Дэвис (1970), Дональд Дж. Кнут (1970)
Кнут Ведж	Чендлер Дэвис (1970), Дональд Дж. Кнут (1970)
Кривая единорога	Питер ван Рой (1989)
Львиная кривая	Бернт Райнер Валь (1989)

Возможно изменение угла поворота с 90° на другие углы. Изменение угла на 120° дает структуру треугольников, а угол 60° дает следующую кривую:

Кривая дракона, вариант 60°. Самоподобие отчетливо видно.

Дискретную кривую дракона можно преобразовать в полимино дракона , как показано.Подобно дискретным кривым дракона, полимино дракона приближаются к фрактальной кривой дракона как к пределу.

Появление кривой дракона в наборах решений [ править ]

Получив набор решений линейного дифференциального уравнения, любая линейная комбинация решений в силу принципа суперпозиции также будет подчиняться исходному уравнению. Другими словами, новые решения получаются путем применения функции к множеству существующих решений. Это похоже на то, как итерированная система функций создает новые точки в наборе, хотя не все IFS являются линейными функциями.Аналогично, набор полиномов Литтлвуда может быть получен путем такого повторного применения набора функций.

Полином Литтлвуда – это многочлен: $p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,$ где все $a_{i}=\pm 1$ .

Для некоторых $|w|<1$ мы определяем следующие функции:

f_{+}(z)=1+wz

f_{-}(z)=1-wz

Начиная с z=0, мы можем сгенерировать все полиномы Литтлвуда степени d, используя эти функции итеративно d+1 раз. ^[7] Например: $f_{+}(f_{-}(f_{-}(0)))=1+(1-w)w=1+1w-1w^{2}$

Видно, что для $w=(1+i)/2$ , приведенная выше пара функций эквивалентна формулировке IFS для шоссейного дракона. То есть дракон Хайвея, итерированный до определенной итерации, описывает набор всех полиномов Литтлвуда до определенной степени, оцененных в точке $w=(1+i)/2$ .Действительно, при построении достаточно большого числа корней полиномов Литтлвуда в точках, близких к этим координатам, появляются структуры, подобные кривой дракона. ^[7]^[8]^[9]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Табачников, Сергей (2014), «Возвращение к кривым Дракона», The Mathematical Intelligencer , 36 (1): 13–17, doi : 10.1007/s00283-013-9428-y , MR 3166985 , S2CID 14420269
^ Эдгар, Джеральд (2008), «Дракон шоссе», в книге Эдгар, Джеральд (редактор), «Мера, топология и фрактальная геометрия» , «Тексты для студентов по математике» (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, стр. 20–22, дои : 10.1007/978-0-387-74749-1 , ISBN 978-0-387-74748-4 , МР 2356043
^ Эдгар (2008) , «Дракон на шоссе облицовывает самолет плиткой», стр. 74–75.
^ Эдгар (2008) , «Граница Шоссе Дракона», стр. 194–195.
^ Кнут, Дональд (1998). «Позиционные системы счисления». Искусство компьютерного программирования . Том. 2 (3-е изд.). Бостон: Аддисон-Уэсли. п. 206. ИСБН 0-201-89684-2 . OCLC 48246681 .
^ Бейли, Скотт; Ким, Теодор; Стрихарц, Роберт С. (2002), «Внутри дракона Леви», The American Mathematical Monthly , 109 (8): 689–703, doi : 10.2307/3072395 , JSTOR 3072395 , MR 1927621 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Кафе n-Категория» .
^ «Неделя285» .
^ «Красота корней» . 11 декабря 2011 г.

Внешние ссылки [ править ]

[tabachnikov-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Табачников, Сергей (2014), «Возвращение к кривым Дракона», The Mathematical Intelligencer , 36 (1): 13–17, doi : 10.1007/s00283-013-9428-y , MR 3166985 , S2CID 14420269

[2] Эдгар, Джеральд (2008), «Дракон шоссе», в книге Эдгар, Джеральд (редактор), «Мера, топология и фрактальная геометрия» , «Тексты для студентов по математике» (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer, стр. 20–22, дои : 10.1007/978-0-387-74749-1 , ISBN 978-0-387-74748-4 , МР 2356043

[3] Эдгар (2008) , «Дракон на шоссе облицовывает самолет плиткой», стр. 74–75.

[4] Эдгар (2008) , «Граница Шоссе Дракона», стр. 194–195.

[Knuth2-5] Кнут, Дональд (1998). «Позиционные системы счисления». Искусство компьютерного программирования . Том. 2 (3-е изд.). Бостон: Аддисон-Уэсли. п. 206. ИСБН 0-201-89684-2 . OCLC 48246681 .

[6] Бейли, Скотт; Ким, Теодор; Стрихарц, Роберт С. (2002), «Внутри дракона Леви», The American Mathematical Monthly , 109 (8): 689–703, doi : 10.2307/3072395 , JSTOR 3072395 , MR 1927621 .

[ncafe-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Кафе n-Категория» .

[8] «Неделя285» .

[9] «Красота корней» . 11 декабря 2011 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v т и Фракталы
Characteristics	Fractal dimensions Assouad Box-counting Higuchi Correlation Hausdorff Packing Topological Recursion Self-similarity
Iterated function system	Barnsley fern Cantor set Koch snowflake Menger sponge Sierpinski carpet Sierpinski triangle Apollonian gasket Fibonacci word Space-filling curve Blancmange curve De Rham curve Minkowski Dragon curve Hilbert curve Koch curve Lévy C curve Moore curve Peano curve Sierpiński curve Z-order curve String T-square n-flake Vicsek fractal Hexaflake Gosper curve Pythagoras tree Weierstrass function
Strange attractor	Multifractal system
L-system	Fractal canopy Space-filling curve H tree
Escape-time fractals	Burning Ship fractal Julia set Filled Newton fractal Douady rabbit Lyapunov fractal Mandelbrot set Misiurewicz point Multibrot set Newton fractal Tricorn Mandelbox Mandelbulb
Rendering techniques	Buddhabrot Orbit trap Pickover stalk
Random fractals	Brownian motion Brownian tree Brownian motor Fractal landscape Lévy flight Percolation theory Self-avoiding walk
People	Michael Barnsley Georg Cantor Bill Gosper Felix Hausdorff Desmond Paul Henry Gaston Julia Helge von Koch Paul Lévy Aleksandr Lyapunov Benoit Mandelbrot Hamid Naderi Yeganeh Lewis Fry Richardson Wacław Sierpiński
Other	"How Long Is the Coast of Britain?" Coastline paradox Fractal art List of fractals by Hausdorff dimension The Fractal Geometry of Nature (1982 book) The Beauty of Fractals (1986 book) Chaos: Making a New Science (1987 book) Kaleidoscope Chaos theory

v т и Математика складывания бумаги
Flat folding	Big-little-big lemma Crease pattern Huzita–Hatori axioms Kawasaki's theorem Maekawa's theorem Map folding Napkin folding problem Pureland origami Yoshizawa–Randlett system
Strip folding	Dragon curve Flexagon Möbius strip Regular paperfolding sequence
3d structures	Miura fold Modular origami Paper bag problem Rigid origami Schwarz lantern Sonobe Yoshimura buckling
Polyhedra	Alexandrov's uniqueness theorem Blooming Flexible polyhedron (Bricard octahedron, Steffen's polyhedron) Net Source unfolding Star unfolding
Miscellaneous	Fold-and-cut theorem Lill's method
Publications	Geometric Exercises in Paper Folding Geometric Folding Algorithms Geometric Origami A History of Folding in Mathematics Origami Polyhedra Design Origamics
People	Roger C. Alperin Margherita Piazzola Beloch Yan Chen Robert Connelly Erik Demaine Martin Demaine Rona Gurkewitz David A. Huffman Tom Hull Kôdi Husimi Humiaki Huzita Toshikazu Kawasaki Robert J. Lang Anna Lubiw Jun Maekawa Kōryō Miura Joseph O'Rourke Tomohiro Tachi Eve Torrence