Полином Литтлвуда

В математике полином Литтлвуда — это многочлен, все коэффициенты которого равны +1 или —1. Проблема Литтлвуда спрашивает, насколько большими должны быть значения такого многочлена на единичном круге в комплексной плоскости . Ответ на этот вопрос даст информацию об автокорреляции двоичных последовательностей.Они названы в честь Дж. Э. Литтлвуда , изучавшего их в 1950-х годах.

Определение

Полином

p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,

является полиномом Литтлвуда, если все $a_{i}=\pm 1$ . Задача Литтлвуда требует констант c ₁ и c ₂ таких, что существует бесконечно много полиномов Литтлвуда p _n возрастающей степени n , удовлетворяющих условиям

c_{1}{\sqrt {n+1}}\leq |p_{n}(z)|\leq c_{2}{\sqrt {n+1}}.\,

для всех $z$ на единичном круге. Полиномы Рудина – Шапиро представляют собой последовательность, удовлетворяющую верхней границе с $c_{2}={\sqrt {2}}$ . построили бесконечное семейство полиномов Литтлвуда, удовлетворяющее как верхней, так и нижней границе В 2019 году Пол Балистер, Бела Боллобас , Роберт Моррис , Джулиан Сахасрабуде и Мариус Тиба .

Ссылки

Питер Борвейн (2002). Вычислительные экскурсы по анализу и теории чисел . Книги CMS по математике. Спрингер-Верлаг . стр. 2–5, 121–132. ISBN 0-387-95444-9 .
Дж. Э. Литтлвуд (1968). Некоторые проблемы реального и комплексного анализа . округ Колумбия Хит.
Балистер, Пол; Боллобас, Бела; Моррис, Роберт; Сахасрабуде, Джулиан; Тиба, Мариус (9 ноября 2020 г.). «Плоские полиномы Литтлвуда существуют». Анналы математики . 192 (3): 977–1004. arXiv : 1907.09464 . дои : 10.4007/анналы.2020.192.3.6 .