Полиномы Холла – Литтлвуда

В математике полиномы Холла – Литтлвуда представляют собой симметричные функции, зависящие от параметра t и разбиения λ. Это функции Шура , когда t равно 0, и мономиальные симметричные функции, когда t равно 1, и являются частными случаями полиномов Макдональда . Впервые они были определены косвенно Филипом Холлом с использованием алгебры Холла , а позже определены непосредственно Дадли Э. Литтлвудом (1961).

Определение

Полином Холла – Литтлвуда P определяется формулой

P_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n};t)=\left(\prod _{i\geq 0}\prod _{j=1}^{m(i)}{\frac {1-t}{1-t^{j}}}\right){\sum _{w\in S_{n}}w\left(x_{1}^{\lambda _{1}}\cdots x_{n}^{\lambda _{n}}\prod _{i<j}{\frac {x_{i}-tx_{j}}{x_{i}-x_{j}}}\right)},

где λ — разбиение не более n с элементами λ _i и m ( i ) элементов, равными i , а — _Sn симметрическая группа порядка n !.

В качестве примера:

P_{42}(x_{1},x_{2};t)=x_{1}^{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{4}+(1-t)x_{1}^{3}x_{2}^{3}

Специализации

У нас есть это $P_{\lambda }(x;1)=m_{\lambda }(x)$ , $P_{\lambda }(x;0)=s_{\lambda }(x)$ и $P_{\lambda }(x;-1)=P_{\lambda }(x)$ где последний представляет собой Шура П. полиномы

Характеристики

Разлагая полиномы Шура через полиномы Холла – Литтлвуда, имеем

s_{\lambda }(x)=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }(t)P_{\mu }(x,t)

где $K_{\lambda \mu }(t)$ – полиномы Костки–Фоулкса . Обратите внимание, что как $t=1$ , они сводятся к обычным коэффициентам Костки.

Комбинаторное описание полиномов Костки – Фоулкса было дано Ласку и Шютценбергером:

K_{\lambda \mu }(t)=\sum _{T\in SSYT(\lambda ,\mu )}t^{\mathrm {charge} (T)}

где «заряд» — это определенная комбинаторная статистика полустандартных таблиц Юнга, и сумма берется по множеству $SSYT(\lambda ,\mu )$ всех полустандартных таблиц Юнга T формы λ и типа µ .

См. также

Полином Холла

Ссылки

И. Г. Макдональд (1979). Симметричные функции и полиномы Холла . Издательство Оксфордского университета. стр. 101–104. ISBN 0-19-853530-9 .
Д. Э. Литтлвуд (1961). «О некоторых симметричных функциях». Труды Лондонского математического общества . 43 : 485–498. дои : 10.1112/plms/s3-11.1.485 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Полином Холла – Литтлвуда» . Математический мир .