Полиномиальный куб

В математике , полиномы Костки названные в честь математика Карла Костки , представляют собой семейства полиномов , обобщающих числа Костки . Они изучаются главным образом в алгебраической комбинаторике и теории представлений .

Полиномы Костки с двумя переменными K _λμ ( q , t ) известны под несколькими названиями, включая полиномы Костки-Фоулкса , полиномы Макдональда-Костки или q , t -полиномы Костки . Здесь индексы λ и µ являются целочисленными разбиениями , а K _λµ ( q , t ) полиномиален от переменных q и t . Иногда рассматривают версии этих полиномов с одной переменной, которые возникают при установке q = 0, т. е. при рассмотрении многочлена K _λμ ( t ) = K _λμ (0, t ).

Есть две немного разные их версии, одна из которых называется преобразованными полиномами Костки .

Специализации полиномов Костки с одной переменной можно использовать для связи полиномов Холла-Литтлвуда P _µ с полиномами Шура s _λ :

$s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }(t)P_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n};t).\$

, что эти многочлены предположил имеют неотрицательные целые коэффициенты Фоулкс , и это было позже доказано в 1978 году Аленом Ласку и Марселем-Полем Шютценбергером . Фактически они показывают, что

$K_{\lambda \mu }(t)=\sum _{T\in SSYT(\lambda ,\mu )}t^{charge(T)}$

где сумма берется по всем полустандартным таблицам Юнга формы λ и веса µ.Здесь заряд — это определенная комбинаторная статистика на полустандартных таблицах Юнга.

Полиномы Макдональда-Костки можно использовать для связи полиномов Макдональда (также обозначаемых P _µ ) с полиномами Шура s _λ :

$s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }(q,t)J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n};q,t)\$

где

$J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n};q,t)=P_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n};q,t)\prod _{s\in \mu }(1-q^{arm(s)}t^{leg(s)+1}).\$

Числа Костки представляют собой специальные значения полиномов Костки с одной или двумя переменными:

$K_{\lambda \mu }=K_{\lambda \mu }(1)=K_{\lambda \mu }(0,1).\$

Ссылки

• Макдональд, И.Г. (1995), Симметричные функции и полиномы Холла , Оксфордские математические монографии (2-е изд.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853489-1 , МР   1354144
• Нельсен, Кендра; Рам, Арун (2003), «Полиномы Костки-Фоулкса и сферические функции Макдональда», Обзоры по комбинаторике, 2003 (Бангор) , London Math. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 307, Кембридж: Кембриджский университет. Press, стр. 325–370, arXiv : math/0401298 , Bibcode : 2004math......1298N , MR   2011741.
• Стембридж, младший (2005), Полиномы Костки-Фоулкса общего типа , конспекты лекций семинара AIM по обобщенным полиномам Костки

Внешние ссылки

• Краткие таблицы полиномов Костки
• Длинные таблицы полиномов Костки