Числовой куб

Три полустандартные таблицы формы Юнга. $\lambda =(3,2)$ и вес $\mu =(1,1,2,1)$. Их считают по числу Костки. $K_{\lambda \mu }=3$.

В математике число Костки $K_{\lambda \mu }$ (в зависимости от двух целочисленных разделов $\lambda$ и $\mu$) — целое неотрицательное число , равное количеству полустандартных таблиц Юнга формы $\lambda$ и вес $\mu$. Они были введены математиком Карлом Косткой в ​​его исследовании симметричных функций ( Костка (1882) ).

Например, если $\lambda =(3,2)$ и $\mu =(1,1,2,1)$, число Костки $K_{\lambda \mu }$ подсчитывает количество способов заполнить выровненную по левому краю коллекцию коробок с 3 в первом ряду и 2 во втором ряду с 1 копией числа 1, 1 копией числа 2, 2 копиями числа 3 и 1 копией. числа 4 так, чтобы записи увеличивались по столбцам и не уменьшались по строкам. Три такие таблицы показаны справа, а $K_{(3,2)(1,1,2,1)}=3$.

Примеры и особые случаи

Для любого раздела $\lambda$, число Костки $K_{\lambda \lambda }$ равно 1: уникальный способ заполнения Юнга диаграммы фигуры $\lambda =(\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{m})$ с $\lambda _{1}$ экземпляры 1, $\lambda _{2}$ копии 2 и так далее, так что результирующая таблица слабо увеличивается по строкам и строго увеличивается по столбцам, если все 1 помещены в первую строку, все 2 помещены во вторую строку и так далее. (Эту таблицу иногда называют Яманучи . таблицей формы $\lambda$.)

Число Костки $K_{\lambda \mu }$ положительна (т.е. существуют полустандартные таблицы Юнга вида $\lambda$ и вес $\mu$) тогда и только тогда, когда $\lambda$ и $\mu$ оба раздела одного и того же целого числа $n$ и $\lambda$ больше, чем $\mu$ в порядке доминирования .

В общем, хороших формул для чисел Костки не существует. Однако известны некоторые частные случаи. Например, если $\mu =(1,1,\dotsc ,1)$ - это разбиение, все части которого равны 1, то это полустандартная таблица Юнга веса $\mu$ – стандартная таблица Юнга; количество стандартных таблиц Юнга заданной формы $\lambda$ определяется по формуле длины крючка .

Свойства

Важным простым свойством чисел Костки является то, что $K_{\lambda \mu }$ не зависит от порядка записей $\mu$. Например, $K_{(3,2)(1,1,2,1)}=K_{(3,2)(1,1,1,2)}$. Это не сразу очевидно из определения, но может быть показано путем установления биекции между множествами полустандартных таблиц Юнга формы $\lambda$ и веса $\mu$ и $\mu ^{\prime }$, где $\mu$ и $\mu ^{\prime }$ различаются только заменой двух записей.

Костки, симметрические функции и

В дополнение к чисто комбинаторному определению, приведенному выше, их также можно определить как коэффициенты, возникающие при выражении полинома Шура. $s_{\lambda }$ как линейная комбинация мономиальных симметричных функций $m_{\mu }$:

$s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu },$

где $\lambda$ и $\mu$ оба раздела $n$. Альтернативно, полиномы Шура также могут быть выражены как

$s_{\lambda }=\sum _{\alpha }K_{\lambda \alpha }x^{\alpha },$

где сумма ведется по всем слабым композициям $\alpha$ из $n$ и $x^{\alpha }$ обозначает моном $x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\dotsc x_{n}^{\alpha _{n}}$.

На уровне представлений симметрической группы $S_{n}$, числа Костки выражают разложение модуля перестановки $M_{\mu }$ в терминах неприводимых представлений $V_{\lambda }$ где $\lambda$ является разделом ​ $n$, то есть,

$M_{\mu }=\bigoplus _{\lambda }K_{\lambda \mu }V_{\lambda }.$

На уровне представлений полной линейной группы $\mathrm {GL} _{d}(\mathbb {C} )$, число Костки $K_{\lambda \mu }$ также подсчитывает размерность весового пространства, соответствующего $\mu$ в унитарном неприводимом представлении $U_{\lambda }$ (где нам требуется $\mu$ и $\lambda$ иметь максимум $d$ части).

Примеры

Числа Костки для разделов размером не более 3 следующие:

$K_{\varnothing \varnothing }=1,$

$K_{(1)(1)}=1,$

$K_{(2)(2)}=K_{(2)(1,1)}=1,$

$K_{(1,1)(2)}=0,\,K_{(1,1)(1,1)}=1,$

$K_{(3)(3)}=K_{(3)(2,1)}=K_{(3)(1,1,1)}=1,$

$K_{(2,1)(3)}=0,\,K_{(2,1)(2,1)}=1,\,K_{(2,1)(1,1,1)}=2,$

$K_{(1,1,1)(3)}=K_{(1,1,1)(2,1)}=0,\,K_{(1,1,1)(1,1,1)}=1.$

Эти значения в точности являются коэффициентами в разложении функций Шура по мономиальным симметричным функциям:

$s_{\varnothing }=m_{\varnothing }=1$

$s_{(1)}=m_{(1)}$

$s_{(2)}=m_{(2)}+m_{(1,1)}$

$s_{(1,1)}=m_{(1,1)}$

$s_{(3)}=m_{(3)}+m_{(2,1)}+m_{(1,1,1)}$

$s_{(2,1)}=m_{(2,1)}+2m_{(1,1,1)}$

$s_{(1,1,1)}=m_{(1,1,1)}$

Костка (1882 , стр. 118-120) дал таблицы этих чисел для разбиений чисел до 8.

Обобщения

Числа Костки представляют собой специальные значения 1 или 2 переменных полиномов Костки :

$K_{\lambda \mu }=K_{\lambda \mu }(1)=K_{\lambda \mu }(0,1).$

Ссылки

• Стэнли, Ричард (1999), Перечислительная комбинаторика, том 2 , Cambridge University Press
• Костка, К. (1882), «О связи между некоторыми формами симметричных функций» , Crelle's Journal , 93 : 89–123, doi : 10.1515/crll.1882.93.89
• Макдональд, И.Г. (1995), Симметричные функции и полиномы Холла , Оксфордские математические монографии (2-е изд.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853489-1 , MR   1354144 , заархивировано из оригинала 11 декабря 2012 г.
• Саган, Брюс Э. (2001) [1994], «Функции Шура в алгебраической комбинаторике» , Энциклопедия математики , EMS Press