Полином Шура

«S-полиномиал» перенаправляется сюда. Информацию о полиномах, используемых при вычислении базисов Грёбнера, см. в разделе Базис Грёбнера § S-полиномиал . Чтобы узнать о стабильных полиномах в системах с дискретным временем, см. Стабильный полином .

В математике полиномы Шура , названные в честь Иссаи Шура , представляют собой определенные симметричные полиномы от n переменных, индексированные разбиениями , которые обобщают элементарные симметричные полиномы и полные однородные симметричные полиномы . В теории представлений они — характеры полиномиальных неприводимых представлений общих линейных групп . Полиномы Шура образуют линейный базис пространства всех симметричных полиномов. Любое произведение полиномов Шура можно записать как линейную комбинацию полиномов Шура с неотрицательными целыми коэффициентами; значения этих коэффициентов задаются комбинаторно по правилу Литтлвуда–Ричардсона . В более общем смысле, косые полиномы Шура связаны с парами разбиений и имеют свойства, аналогичные полиномам Шура.

Определение (двуальтернантная формула Якоби)

Полиномы Шура индексируются целочисленными разбиениями . Учитывая разбиение λ = ( λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n ) , где λ ₁ ≥ λ ₂ ≥ ... ≥ λ _n и каждый λ _j является целым неотрицательным числом, функции

$$a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n})}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{\lambda _{1}+n-1}&x_{2}^{\lambda _{1}+n-1}&\dots &x_{n}^{\lambda _{1}+n-1}\\x_{1}^{\lambda _{2}+n-2}&x_{2}^{\lambda _{2}+n-2}&\dots &x_{n}^{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{\lambda _{n}}&x_{2}^{\lambda _{n}}&\dots &x_{n}^{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right]$$

являются знакопеременными многочленами по свойствам определителя . Многочлен называется знакопеременным, если он меняет знак при любом перестановке переменных.

Поскольку они чередуются, все они делятся на определитель Вандермонда. $$a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&\dots &x_{n}^{n-1}\\x_{1}^{n-2}&x_{2}^{n-2}&\dots &x_{n}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&1&\dots &1\end{matrix}}\right]=\prod _{1\leq j<k\leq n}(x_{j}-x_{k}).$$ Полиномы Шура определяются как отношение

$$s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{(\lambda _{1}+n-1,\lambda _{2}+n-2,\dots ,\lambda _{n}+0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}{a_{(n-1,n-2,\dots ,0)}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}.$$

Это известно как формула Якоби . биальтернантная Это частный случай формулы характера Вейля .

Это симметричная функция, поскольку числитель и знаменатель являются чередующимися, а также многочлен, поскольку все чередующиеся многочлены делятся на определитель Вандермонда.

Характеристики

степени d Полиномы Шура от n переменных являются линейным базисом пространства однородных степени d симметричных полиномов от n переменных. Для разбиения λ = ( λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n ) полином Шура представляет собой сумму мономов,

$s_{\lambda }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{T}x^{T}=\sum _{T}x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{n}^{t_{n}}$

где суммирование ведется по всем полустандартным таблицам Юнга T формы λ . Показатели t ₁ , ..., t _n дают вес T , другими словами, каждый ti _{подсчитывает} вхождения числа i в T . Можно показать, что это эквивалентно определению из первой формулы Джамбелли с использованием леммы Линдстрема – Гесселя – Вьенно (как указано на этой странице).

Полиномы Шура могут быть выражены как линейные комбинации мономиальных симметричных функций m _µ с неотрицательными целыми коэффициентами K _λµ, называемыми числами Костки ,

$s_{\lambda }=\sum _{\mu }K_{\lambda \mu }m_{\mu }.\$

Числа Костки K _λμ задаются количеством полустандартных таблиц Юнга формы λ и веса μ .

Личности Якоби-Труди

Первая формула Якоби-Труди выражает полином Шура как определитель в терминах полных однородных симметричных полиномов ,

$s_{\lambda }=\det(h_{\lambda _{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda )}=\det \left[{\begin{matrix}h_{\lambda _{1}}&h_{\lambda _{1}+1}&\dots &h_{\lambda _{1}+n-1}\\h_{\lambda _{2}-1}&h_{\lambda _{2}}&\dots &h_{\lambda _{2}+n-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\h_{\lambda _{n}-n+1}&h_{\lambda _{n}-n+2}&\dots &h_{\lambda _{n}}\end{matrix}}\right],$

где час _я := s _{( я )} .

Вторая формула Якоби-Труди выражает полином Шура как определитель через элементарные симметричные многочлены ,

$s_{\lambda }=\det(e_{\lambda '_{i}+j-i})_{i,j=1}^{l(\lambda ')}=\det \left[{\begin{matrix}e_{\lambda '_{1}}&e_{\lambda '_{1}+1}&\dots &e_{\lambda '_{1}+l-1}\\e_{\lambda '_{2}-1}&e_{\lambda '_{2}}&\dots &e_{\lambda '_{2}+l-2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e_{\lambda '_{l}-l+1}&e_{\lambda '_{l}-l+2}&\dots &e_{\lambda '_{l}}\end{matrix}}\right],$

где e _i := s _{(1 ^я )} и λ' — разбиение, сопряженное с λ .

В обоих тождествах функции с отрицательными индексами считаются равными нулю.

Личность Джамбелли

Еще одним определяющим тождеством является формула Джамбелли , которая выражает функцию Шура для произвольного разбиения через функции для крючковых разбиений, содержащихся в диаграмме Юнга. В обозначениях Фробениуса разбиение обозначается

$(a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})$

где для каждого диагонального элемента в позиции ii b a _i обозначает количество ячеек справа в той же строке, а i _{обозначает} количество ячеек под ним в том же столбце ( длины рук и ног соответственно).

Тождество Джамбелли выражает функцию Шура, соответствующую этому разбиению, как определитель

$s_{(a_{1},\ldots ,a_{r}\mid b_{1},\ldots ,b_{r})}=\det(s_{(a_{i}\mid b_{j})})$

из них для крюковых перегородок.

Личность Коши

Тождество Коши для функций Шура (теперь от бесконечного числа переменных) и его двойственное состояние, которое

$\sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda }(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)h_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1-x_{i}y_{j})^{-1},$

и

$\sum _{\lambda }s_{\lambda }(x)s_{\lambda '}(y)=\sum _{\lambda }m_{\lambda }(x)e_{\lambda }(y)=\prod _{i,j}(1+x_{i}y_{j}),$

где сумма берется по всем разбиениям λ и $h_{\lambda }(x)$, $e_{\lambda }(x)$ обозначают полные симметрические функции и элементарные симметрические функции соответственно. Если сумма берется по произведениям полиномов Шура в $n$ переменные $(x_{1},\dots ,x_{n})$, в сумму входят только разбиения длины $\ell (\lambda )\leq n$ так как в противном случае полиномы Шура обращаются в нуль.

Существует множество обобщений этих тождеств на другие семейства симметричных функций. Например, полиномы Макдональда, полиномы Шуберта и полиномы Гротендика допускают тождества типа Коши.

Дальнейшие личности

Полином Шура также можно вычислить с помощью специализации формулы для полиномов Холла – Литтлвуда :

$s_{\lambda }(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\sum _{w\in S_{n}/S_{n}^{\lambda }}w\left(x^{\lambda }\prod _{\lambda _{i}>\lambda _{j}}{\frac {x_{i}}{x_{i}-x_{j}}}\right)$

где $S_{n}^{\lambda }$ — подгруппа таких перестановок, что $\lambda _{w(i)}=\lambda _{i}$ для всех i и w действует на переменные, переставляя индексы.

Правило Мурнагана-Накаямы

Правило Мурнагана-Накаямы выражает произведение симметричной функции степенной суммы на полином Шура через полиномы Шура:

$p_{r}\cdot s_{\lambda }=\sum _{\mu }(-1)^{ht(\mu /\lambda )+1}s_{\mu }$

где сумма ведется по всем разбиениям µ таким, что µ / λ — крючок размера r , а ht ( µ / λ ) – количество строк в диаграмме µ / λ .

Правило Литтлвуда-Ричардсона и формула Пьери.

Коэффициенты Литтлвуда – Ричардсона зависят от трех разделов , скажем $\lambda ,\mu ,\nu$, из них $\lambda$ и $\mu$ описать умножаемые функции Шура и $\nu$ дает функцию Шура, коэффициентом которой является эта линейная комбинация; другими словами, это коэффициенты $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$ такой, что

$s_{\lambda }s_{\mu }=\sum _{\nu }c_{\lambda ,\mu }^{\nu }s_{\nu }.$

Правило Литтлвуда-Ричардсона гласит, что $c_{\lambda ,\mu }^{\nu }$ равно количеству таблиц Литтлвуда – Ричардсона косой формы. $\nu /\lambda$ и веса $\mu$.

Формула Пьери представляет собой частный случай правила Литтлвуда-Ричардсона, выражающего произведение $h_{r}s_{\lambda }$ в терминах полиномов Шура. Двойная версия выражает $e_{r}s_{\lambda }$ в терминах полиномов Шура.

Специализации

Оценка полинома Шура s _λ в (1, 1, ..., 1) дает количество полустандартных таблиц Юнга формы λ с элементами в 1, 2, ..., n . Используя, формулу характера Вейля например, , можно показать, что $$s_{\lambda }(1,1,\dots ,1)=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\lambda _{i}-\lambda _{j}+j-i}{j-i}}.$$ В этой формуле λ , кортеж, указывающий ширину каждой строки диаграммы Юнга, неявно расширяется нулями, пока не достигнет длины n . Сумма λi _{элементов} равна d . См. также формулу длины крюка , которая вычисляет ту же величину для фиксированного λ .

Пример

Следующий расширенный пример должен помочь прояснить эти идеи. Рассмотрим случай n = 3, d = 4. Используя диаграммы Феррера или какой-либо другой метод, мы находим, что существует всего четыре разбиения числа 4 не более чем на три части. У нас есть

$s_{(2,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{matrix}}\right]=x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,(x_{1}+x_{2}+x_{3})$

$s_{(2,2,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})={\frac {1}{\Delta }}\;\det \left[{\begin{matrix}x_{1}^{4}&x_{2}^{4}&x_{3}^{4}\\x_{1}^{3}&x_{2}^{3}&x_{3}^{3}\\1&1&1\end{matrix}}\right]=x_{1}^{2}\,x_{2}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{2}^{2}\,x_{3}^{2}+x_{1}^{2}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}^{2}$

и так далее, где $\Delta$ определитель Вандермонда $a_{(2,1,0)}(x_{1},x_{2},x_{3})$. Подведение итогов:

1. $s_{(2,1,1)}=e_{1}\,e_{3}$
2. $s_{(2,2,0)}=e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}$
3. $s_{(3,1,0)}=e_{1}^{2}\,e_{2}-e_{2}^{2}-e_{1}\,e_{3}$
4. $s_{(4,0,0)}=e_{1}^{4}-3\,e_{1}^{2}\,e_{2}+2\,e_{1}\,e_{3}+e_{2}^{2}.$

Каждый однородный симметричный полином четвертой степени от трех переменных может быть выражен как уникальная линейная комбинация этих четырех полиномов Шура, и эта комбинация снова может быть найдена с использованием базиса Грёбнера для соответствующего порядка исключения. Например,

$\phi (x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}$

очевидно, является симметричным многочленом, однородным четвертой степени, и мы имеем

$\phi =s_{(2,1,1)}-s_{(3,1,0)}+s_{(4,0,0)}.\,\!$

Связь с теорией представлений

Полиномы Шура встречаются в теории представлений симметрических групп , общих линейных групп и унитарных групп . Формула характера Вейля подразумевает, что полиномы Шура являются характерами конечномерных неприводимых представлений общих линейных групп, и помогает обобщить работу Шура на другие компактные и полупростые группы Ли .

Для этого соотношения возникает несколько выражений, одно из наиболее важных — разложение функций Шура s _λ через симметричные степенные функции $p_{k}=\sum _{i}x_{i}^{k}$. Если мы напишем х ^л
_ρ для характера представления симметрической группы, индексированной разбиением λ, оцененного в элементах типа цикла, индексированных разбиением ρ, тогда

$s_{\lambda }=\sum _{\nu }{\frac {\chi _{\nu }^{\lambda }}{z_{\nu }}}p_{\nu }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi _{\rho }^{\lambda }\prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!k^{r_{k}}}},$

где ρ = (1 ^{р ₁} , 2 ^{год ₂} , 3 ^{р ₃} , ...) означает, что разбиение ρ имеет r _k частей длины k .

Доказательство этого можно найти в книге Р. Стэнли «Перечислительная комбинаторика», том 2, следствие 7.17.5.

Целые числа x ^л
_ρ можно вычислить с помощью правила Мурнагана–Накаямы .

Шур позитив

В связи с теорией представлений симметричная функция, положительно разлагающаяся по функциям Шура, имеет особый интерес. Например, косые функции Шура положительно расширяются в обычные функции Шура: а коэффициенты представляют собой коэффициенты Литтлвуда – Ричардсона.

Частным случаем является разложение полных однородных симметрических функций h _λ по функциям Шура. Это разложение отражает то, как модуль перестановки разлагается на неприводимые представления.

Методы доказательства положительности Шура

Существует несколько подходов к доказательству положительности Шура заданной симметричной функции F . Если F описывается комбинаторно, прямой подход состоит в том, чтобы создать биекцию с полустандартными таблицами Юнга. Соответствие Эдельмана-Грина и соответствие Робинсона-Шенстеда-Кнута являются примерами таких биекций.

Биекция с большей структурой является доказательством с использованием так называемых кристаллов . Этот метод можно описать как определение определенной структуры графа, описываемой локальными правилами для базовых комбинаторных объектов.

Похожей идеей является понятие двойной эквивалентности. В этом подходе также используется графовая структура, но на объектах, представляющих разложение в фундаментальном квазисимметричном базисе. Это тесно связано с RSK-перепиской.

Обобщения

Функции наклона Шура

Косые функции Шура s _λ/µ зависят от двух разбиений λ и µ и могут быть определены свойством

$\langle s_{\lambda /\mu },s_{\nu }\rangle =\langle s_{\lambda },s_{\mu }s_{\nu }\rangle .$

Здесь внутренний продукт — это внутренний продукт Холла, для которого полиномы Шура образуют ортонормированный базис.

Как и в случае с обычными полиномами Шура, существует множество способов их вычисления. Соответствующие тождества Якоби-Труди имеют вид

$s_{\lambda /\mu }=\det(h_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}$

$s_{\lambda '/\mu '}=\det(e_{\lambda _{i}-\mu _{j}-i+j})_{i,j=1}^{l(\lambda )}$

Существует также комбинаторная интерпретация косых полиномов Шура: а именно, это сумма по всем полустандартным таблицам Юнга (или таблицам со строгими столбцами) косой формы. $\lambda /\mu$.

Косые полиномы Шура положительно разлагаются по полиномам Шура. Правило для коэффициентов: определяется правилом Литтлвуда-Ричардсона .

Двойные полиномы Шура

Двойные полиномы Шура можно рассматривать как обобщение сдвинутых полиномов Шура. Эти полиномы также тесно связаны с факториальными полиномами Шура. Учитывая разбиение λ и последовательность a ₁ , a ₂ ,... можно определить двойной полином Шура s _λ ( x || a ) как $$s_{\lambda }(x||a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )-c(\alpha )})$$ где сумма берется по всем обратным полустандартным таблицам Юнга T формы λ и целочисленным элементам в 1, ..., н . Здесь T (α) обозначает значение в ящике α в T , а c(α) — содержимое ящика.

Комбинаторное правило для коэффициентов Литтлвуда — Ричардсона (в зависимости от последовательности а ) дал А. И. Молев. В частности, это означает, что сдвинутые полиномы Шура имеют неотрицательные коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона.

Сдвинутые полиномы Шура s ^* _λ ( y ) можно получить из двойных полиномов Шура, специализируя a _i = - i и y _i = x _i + i .

Двойные полиномы Шура являются частными случаями двойных полиномов Шуберта .

Факториальные полиномы Шура

Факториальные полиномы Шура можно определить следующим образом. Учитывая разбиение λ и дважды бесконечную последовательность ..., a ₋₁ , a ₀ , a ₁ , ... ) можно определить факториальный полином Шура s _λ ( x | a как $$s_{\lambda }(x|a)=\sum _{T}\prod _{\alpha \in \lambda }(x_{T(\alpha )}-a_{T(\alpha )+c(\alpha )})$$ где сумма берется по всем полустандартным таблицам Юнга T формы λ, а целые элементы в 1, ..., н . Здесь T (α) обозначает значение в поле α в T, а c(α) — это содержимое коробки.

Существует также определительная формула: $$s_{\lambda }(x|a)={\frac {\det[(x_{j}|a)^{\lambda _{i}+n-i}]_{i,j=1}^{l(\lambda )}}{\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j})}}$$ где ( у | а ) ^к знак равно ( y - а ₁ ) ... ( y - а _k ). Ясно, что если мы положим a _i = 0 для всех i , восстанавливаем обычный полином Шура s _λ .

Двойные полиномы Шура и факториальные полиномы Шура от n переменных связаны тождеством s _λ ( Икс || а ) знак равно s _λ ( Икс | ты ) где а _{п - я +1} знак равно ты _я .

Другие обобщения

Существует множество обобщений полиномов Шура:

• Полиномы Холла – Литтлвуда
• Сдвинутые полиномы Шура
• Помеченные полиномы Шура
• Полиномы Шуберта
• Симметричные функции Стэнли (также известные как стабильные полиномы Шуберта)
• Ключевые полиномы (также известные как символы Демазюра)
• Квазисимметричные полиномы Шура
• Строгие полиномы Шура
• Полиномы Джека
• Модульные полиномы Шура
• Функции цикла Шура
• Полиномы Макдональда
• Полиномы Шура для симплектической и ортогональной группы.
• k -функции Шура
• Полиномы Гротендика ( K -теоретический аналог полиномов Шура)
• Полиномы LLT

См. также

• я работаю
• Правило Литтлвуда-Ричардсона , согласно которому находятся некоторые тождества, включающие полиномы Шура.

Ссылки

• Макдональд, И.Г. (1995). Симметричные функции и полиномы Холла . Оксфордские математические монографии (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-853489-1 . МР   1354144 .
• Саган, Брюс Э. (2001) [1994], «Функции Шура в алгебраической комбинаторике» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Штурмфельс, Бернд (1993). Алгоритмы в теории инвариантов . Спрингер. ISBN  978-0-387-82445-1 .
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .