Переменный полином

В алгебре знакопеременный многочлен — это многочлен $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ так что если поменять местами любые две переменные, полином меняет знак:

f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).

Эквивалентно, если переставить переменные, значение полинома изменится на знак перестановки :

f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).

В более общем смысле полином $f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})$ говорят, что они чередуются $x_{1},\dots ,x_{n}$ если он меняет знак, если поменять местами любые два из $x_{i}$ , оставив $y_{j}$ зафиксированный. ^[1]

Связь с симметричными полиномами

Произведения симметричных и знакопеременных полиномов (от тех же переменных $x_{1},\dots ,x_{n}$ ) ведут себя так:

произведение двух симметричных многочленов симметрично,
произведение симметричного многочлена и знакопеременного многочлена является чередующимся, и
произведение двух знакопеременных многочленов симметрично.

Это в точности таблица сложения четности , где «симметричный» соответствует «четному», а «чередующийся» соответствует «нечетному». Таким образом, прямая сумма пространств симметричных и знакопеременных многочленов образует супералгебру ( $\mathbf {Z} _{2}$ — градуированная алгебра ), где симметричные многочлены — четная часть, а знакопеременные многочлены — нечетная часть.Эта градуировка не связана с градуировкой полиномов по степени .

В частности, знакопеременные многочлены образуют модуль над алгеброй симметричных многочленов (нечетная часть супералгебры является модулем над четной частью); на самом деле это свободный модуль ранга 1 с полиномом Вандермонда от n переменных в качестве генератора.

Если характеристика коэффициентов кольца равна 2, между этими двумя понятиями нет разницы: знакопеременные многочлены - это в точности симметричные многочлены.

Полином Вандермонда

Основным переменным полиномом является полином Вандермонда :

v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).

Очевидно, что это чередование, поскольку переключение двух переменных меняет знак одного члена и не меняет другие. ^[2]

Перемежающиеся полиномы - это в точности полином Вандермонда, умноженный на симметричный полином: $a=v_{n}\cdot s$ где $s$ является симметричным.Это потому, что:

$v_{n}$ является фактором каждого знакопеременного многочлена: $(x_{j}-x_{i})$ является фактором каждого знакопеременного многочлена, как если бы $x_{i}=x_{j}$ , полином равен нулю (поскольку их переключение не меняет полином, получаем

f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),

так

(x_{j}-x_{i})

является фактором), и, таким образом,

v_{n}

является фактором.

знакопеременный полином, умноженный на симметричный многочлен, является знакопеременным полиномом; таким образом, все кратные $v_{n}$ являются знакопеременными полиномами

И наоборот, отношение двух знакопеременных многочленов является симметричной функцией, возможно, рациональной (не обязательно многочленом), хотя отношение знакопеременного многочлена к многочлену Вандермонда является многочленом. Полиномы Шура определяются таким образом как знакопеременный полином, разделенный на полином Вандермонда.

Кольцевая структура

Таким образом, обозначая кольцо симметричных многочленов через Λ _n , кольцо симметричных и знакопеременных многочленов имеет вид $\Lambda _{n}[v_{n}]$ , или точнее $\Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle$ , где $\Delta =v_{n}^{2}$ – симметричный полином, дискриминант .

То есть кольцо симметричных и знакопеременных многочленов является квадратичным расширением кольца симметричных многочленов, к которому присоединен квадратный корень из дискриминанта.

Альтернативно это:

R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .

Если 2 не обратимо, ситуация несколько иная, и нужно использовать другой полином $W_{n}$ , и получает другое соотношение; см. Романьи.

Теория представлений

С точки зрения теории представлений , симметричные и знакопеременные многочлены являются подпредставлениями действия симметрической группы на n букв на кольце полиномов от n переменных. (Формально, симметричная группа действует на n букв и, таким образом, действует на производные объекты, особенно на свободные объекты на n буквах, такие как кольцо полиномов.)

Симметричная группа имеет два одномерных представления: тривиальное представление и знаковое представление. Симметричные полиномы представляют собой тривиальное представление, а знакопеременные полиномы представляют собой знаковое представление. Формально скалярная оболочка любого симметричного (соответственно, знакопеременного) многочлена является тривиальным (соответственно, знаком) представлением симметрической группы, и умножение полиномов тензорит представления.

В характеристике 2 это не отдельные представления, и анализ более сложен.

Если $n>2$ , существуют также другие подпредставления действия симметрической группы на кольце многочленов, как обсуждается в теории представлений симметрической группы .

Нестабильный

Переменные многочлены - нестабильное явление: кольцо симметричных многочленов от n переменных можно получить из кольца симметричных многочленов от произвольного числа переменных, вычислив все приведенные выше переменные. $x_{n}$ до нуля: таким образом, симметричные полиномы стабильны или определены совместимым образом. Однако это не относится к знакопеременным полиномам, в частности к полиному Вандермонда .

См. также

Примечания

^ Джамбруно и Зайцев (2005) , с. 12.
^ Скорее, это только переставляет другие термины: для $n=3$ , переключение $x_{1}$ и $x_{2}$ изменения $(x_{2}-x_{1})$ к $(x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})$ и обмены $(x_{3}-x_{1})$ с $(x_{3}-x_{2})$ , но не меняет своего знака.