Полином Вандермонда

В алгебре упорядоченного полином Вандермонда набора из n переменных. $X_{1},\dots ,X_{n}$ , названный в честь Александра-Теофиля Вандермонда , представляет собой многочлен :

V_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}).

(В некоторых источниках используется обратный порядок $(X_{i}-X_{j})$ , что меняет знак ${\binom {n}{2}}$ раз: таким образом, в некоторых измерениях обе формулы совпадают по знаку, а в других они имеют противоположные знаки.)

Его еще называют определителем Вандермонда, так как он является определителем матрицы Вандермонда .

Значение зависит от порядка членов: это знакопеременный полином , а не симметричный полином .

Чередование

Определяющим свойством полинома Вандермонда является то, что его чередуются , а это означает, что перестановка элементы $X_{i}$ нечетной перестановкой меняет знак, а перестановка их четной перестановкой не меняет значения многочлена – по сути, это основной знакопеременный многочлен, как будет уточнено ниже.

Таким образом, он зависит от порядка и равен нулю, если две записи равны - это также следует из формулы, но также является следствием чередования: если две переменные равны, то переключение их обеих не меняет значение и инвертирует значение. , уступая $V_{n}=-V_{n},$ и таким образом $V_{n}=0$ (при условии, что характеристика не равна 2, в противном случае чередование эквивалентно симметричности).

И наоборот, полином Вандермонда является фактором каждого знакопеременного многочлена: как показано выше, знакопеременный полином исчезает, если любые две переменные равны, и, следовательно, должен иметь $(X_{i}-X_{j})$ как фактор для всех $i\neq j$ .

Переменные полиномы

Таким образом, полином Вандермонда (вместе с симметричными полиномами ) порождает знакопеременные полиномы .

Дискриминант

Его квадрат широко называют дискриминантом , хотя некоторые источники называют дискриминантом сам полином Вандермонда.

Дискриминант (квадрат многочлена Вандермонда: $\Delta =V_{n}^{2}$ ) не зависит от порядка слагаемых, так как $(-1)^{2}=1$ и, таким образом, является инвариантом неупорядоченного набора точек.

Если присоединить многочлен Вандермонда к кольцу симметричных многочленов от n переменных $\Lambda _{n}$ , получаем квадратичное расширение $\Lambda _{n}[V_{n}]/\langle V_{n}^{2}-\Delta \rangle$ , которое является кольцом знакопеременных многочленов .

Полином Вандермонда многочлена

Учитывая полином, полином Вандермонда его корней определяется над полем расщепления ; для немонического полинома со старшим коэффициентом a можно определить полином Вандермонда как