Симметричная функция Стэнли

В математике и особенно в алгебраической комбинаторике представляют симметричные функции Стэнли собой семейство симметричных функций, введенных Ричардом Стэнли ( 1984 исследовании симметричной группы перестановок ) в его .

Формально симметричная функция Стэнли F _w ( x ₁ , x ₂ , ...), индексированная перестановкой w, определяется как сумма некоторых фундаментальных квазисимметричных функций . Каждое слагаемое соответствует сокращенному разложению w , то есть способу записи w как произведения минимально возможного числа соседних транспозиций . Они были введены в ходе перечисления Стэнли приведенных разложений перестановок и, в частности, его доказательства того, что перестановка w ₀ = n ( n − 1)...21 (записанная здесь в однострочных обозначениях ) имеет в точности

${\frac {{\binom {n}{2}}!}{1^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdot 5^{n-3}\cdots (2n-3)^{1}}}$

уменьшенное разложение. (Здесь ${\binom {n}{2}}$ обозначает биномиальный коэффициент n ( n − 1)/2 и ! обозначает факториал .)

Характеристики

функция Стэнли F _w однородна равной со степенью, числу инверсий w Симметричная . В отличие от других хороших семейств симметричных функций, симметричные функции Стэнли имеют множество линейных зависимостей и поэтому не образуют базиса кольца симметричных функций . Когда симметричная функция Стэнли разлагается на основе функций Шура , все коэффициенты являются неотрицательными целыми числами .

Симметричные функции Стэнли обладают тем свойством, что они являются устойчивым пределом полиномов Шуберта.

$F_{w}(x)=\lim _{n\to \infty }{\mathfrak {S}}_{1^{n}\times w}(x)$

где мы рассматриваем обе части как формальный степенной ряд и принимаем предел по коэффициентам.

Ссылки

• Стэнли, Ричард П. (1984), «О количестве приведенных разложений элементов групп Кокстера» (PDF) , European Journal of Combinatorics , 5 (4): 359–372, doi : 10.1016/s0195-6698(84) 80039-6 , ISSN   0195-6698 , МР   0782057