Полином Шуберта

В математике полиномы Шуберта являются обобщениями полиномов Шура , которые представляют классы когомологий циклов Шуберта в многообразиях флагов . Они были представлены Lascoux & Schützenberger (1982) и названы в честь Германа Шуберта .

Фон

Ласку (1995) описал историю полиномов Шуберта.

Полиномы Шуберта ${\mathfrak {S}}_{w}$ являются полиномами от переменных $x_{1},x_{2},\ldots$ в зависимости от элемента $w$ бесконечной симметрической группы $S_{\infty }$ всех перестановок $\mathbb {N}$ фиксируя все элементы, кроме конечного числа. Они составляют основу кольца полиномов. $\mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ]$ в бесконечном числе переменных.

Когомологии многообразия флагов ${\text{Fl}}(m)$ является $\mathbb {Z} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}]/I,$ где $I$ — идеал, порожденный однородными симметрическими функциями положительной степени. Полином Шуберта ${\mathfrak {S}}_{w}$ – единственный однородный полином степени $\ell (w)$ представляющий цикл Шуберта $w$ в когомологиях многообразия флагов ${\text{Fl}}(m)$ для всех достаточно больших $m.$

Характеристики

• Если $w_{0}$ это перестановка наибольшей длины в $S_{n}$ затем ${\mathfrak {S}}_{w_{0}}=x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}$

• $\partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}$ если $w(i)>w(i+1)$, где $s_{i}$ это транспозиция $(i,i+1)$ и где $\partial _{i}$ оператор разделенной разности, принимающий $P$ к $(P-s_{i}P)/(x_{i}-x_{i+1})$.

Полиномы Шуберта можно вычислять рекурсивно на основе этих двух свойств. В частности, это означает, что ${\mathfrak {S}}_{w}=\partial _{w^{-1}w_{0}}x_{1}^{n-1}x_{2}^{n-2}\cdots x_{n-1}^{1}$.

Другие свойства

• ${\mathfrak {S}}_{id}=1$

• Если $s_{i}$ это транспозиция $(i,i+1)$, затем ${\mathfrak {S}}_{s_{i}}=x_{1}+\cdots +x_{i}$.

• Если $w(i)<w(i+1)$ для всех $i\neq r$, затем ${\mathfrak {S}}_{w}$ полином Шура $s_{\lambda }(x_{1},\ldots ,x_{r})$ где $\lambda$ это раздел $(w(r)-r,\ldots ,w(2)-2,w(1)-1)$. В частности, все полиномы Шура (от конечного числа переменных) являются полиномами Шуберта.

• Полиномы Шуберта имеют положительные коэффициенты. Гипотетическое правило для их коэффициентов было предложено Ричардом П. Стэнли и доказано в двух статьях: одной Сергея Фомина и Стэнли, а другой Сарой Билли , Уильямом Джокушем и Стэнли.

• Полиномы Шуберта можно рассматривать как производящую функцию над некоторыми комбинаторными объектами, называемыми несбыточными мечтами или rc-графами . Они находятся в биекции с приведенными гранями Когана (введенными в кандидатскую диссертацию Михаила Когана), которые являются специальными гранями многогранника Гельфанда-Цетлина.

• Полиномы Шуберта также могут быть записаны как взвешенная сумма объектов, называемых «безударными несбыточными мечтами» .

В качестве примера

${\mathfrak {S}}_{24531}(x)=x_{1}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}x_{3}^{2}x_{4}x_{2}.$

Мультипликативные структурные константы

Поскольку полиномы Шуберта образуют $\mathbb {Z}$-базис, существуют уникальные коэффициенты $c_{\beta \gamma }^{\alpha }$ такой, что

${\mathfrak {S}}_{\beta }{\mathfrak {S}}_{\gamma }=\sum _{\alpha }c_{\beta \gamma }^{\alpha }{\mathfrak {S}}_{\alpha }.$

Их можно рассматривать как обобщение коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона, описываемых правилом Литтлвуда-Ричардсона . По алгебро-геометрическим причинам ( теорема Клеймана о трансверсальности 1974 года ) эти коэффициенты являются целыми неотрицательными числами и представляют собой выдающаяся задача теории представлений и комбинаторики — дать комбинаторное правило для этих чисел.

Двойные полиномы Шуберта

Двойные полиномы Шуберта ${\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )$ являются полиномами от двух бесконечных наборов переменных, параметризованными элементом w бесконечной симметрической группы, которые становятся обычными полиномами Шуберта, когда все переменные $y_{i}$ являются $0$.

Двойной полином Шуберта ${\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )$ характеризуются свойствами

• ${\mathfrak {S}}_{w}(x_{1},x_{2},\ldots ,y_{1},y_{2},\ldots )=\prod \limits _{i+j\leq n}(x_{i}-y_{j})$ когда $w$ это перестановка на $1,\ldots ,n$ наибольшей длины.

• $\partial _{i}{\mathfrak {S}}_{w}={\mathfrak {S}}_{ws_{i}}$ если $w(i)>w(i+1).$

Двойные полиномы Шуберта также можно определить как

${\mathfrak {S}}_{w}(x,y)=\sum _{w=v^{-1}u{\text{ and }}\ell (w)=\ell (u)+\ell (v)}{\mathfrak {S}}_{u}(x){\mathfrak {S}}_{v}(-y).$

Квантовые полиномы Шуберта

Фомин, Гельфанд и Постников (1997) ввели квантовые полиномы Шуберта, которые имеют такое же отношение к (малым) квантовым когомологиям многообразий флагов, как обычные полиномы Шуберта к обычным когомологиям.

Универсальные полиномы Шуберта

Фултон (1999) ввел универсальные полиномы Шуберта, которые обобщают классические и квантовые полиномы Шуберта. Он также описал универсальные двойные полиномы Шуберта, обобщающие двойные полиномы Шуберта.

См. также

• Симметричная функция Стэнли
• Полиномиальная константа
• Формула Монка дает произведение линейного полинома Шуберта и полинома Шуберта.
• ниль-алгебра Кокстера

Ссылки

• Бернштейн, Индиана ; Гельфанд, ИМ ; Гельфанд С.И. (1973), "Клетки Шуберта и когомологии пространств G/P", Изв. матем. Опросы , 28 (3): 1–26, Bibcode : 1973RuMaS..28....1B , doi : 10.1070/RM1973v028n03ABEH001557 , S2CID   800432
• Фомин, Сергей ; Гельфанд, Сергей; Постников, Александр (1997), «Квантовые полиномы Шуберта», Журнал Американского математического общества , 10 (3): 565–596, doi : 10.1090/S0894-0347-97-00237-3 , ISSN   0894-0347 , MR   1431829
• Фултон, Уильям (1992), «Флаги, полиномы Шуберта, локусы вырождения и детерминантные формулы», Duke Mathematical Journal , 65 (3): 381–420, doi : 10.1215/S0012-7094-92-06516-1 , ISSN   0012 -7094 , МР   1154177
• Фултон, Уильям (1997), Таблицы Янга , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 35, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-56144-0 , МР   1464693
• Фултон, Уильям (1999), «Универсальные полиномы Шуберта», Duke Mathematical Journal , 96 (3): 575–594, arXiv : alg-geom/9702012 , doi : 10.1215/S0012-7094-99-09618-7 , ISSN   0012 -7094 , МР   1671215 , S2CID   10546579
• Ласку, Ален (1995), «Полиномы Шуберта: исторический подход», Discrete Mathematics , 139 (1): 303–317, doi : 10.1016/0012-365X(95)93984-D , ISSN   0012-365X , MR   1336845
• Ласку, Ален ; Шютценбергер, Марсель-Поль (1982), «Полиномы Шуберта», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 294 (13): 447–450, ISSN   0249-6291 , MR   0660739
• Ласку, Ален ; Шютценбергер, Марсель-Поль (1985), «Полиномы Шуберта и правило Литтлвуда-Ричардсона», Письма по математической физике. Журнал для быстрого распространения кратких статей в области математической физики , 10 (2): 111–124, Bibcode : 1985LMaPh..10..111L , doi : 10.1007/BF00398147 , ISSN   0377-9017 , MR   0815233 , S2CID   119654656
• Макдональд, И.Г. (1991), «Полиномы Шуберта» , в Кидвелле, А.Д. (ред.), Обзоры по комбинаторике, 1991 (Гилдфорд, 1991) , London Math. Соц. Лекции. Сер., вып. 166, Cambridge University Press , стр. 73–99, ISBN.  978-0-521-40766-3 , МР   1161461
• Макдональд, И.Г. (1991b), Заметки о полиномах Шуберта , Публикации Лаборатории комбинаторики и математических вычислений, том. 6, Лаборатория комбинаторики и математической информатики (LACIM), Квебекский университет в Монреале, ISBN  978-2-89276-086-6
• Манивель, Лоран (2001) [1998], Симметричные функции, полиномы Шуберта и локусы вырождения , Тексты и монографии SMF/AMS, vol. 6, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2154-1 , МР   1852463
• Соттиле, Франк (2001) [1994], «Полиномы Шуберта» , Энциклопедия математики , EMS Press