Полиномиальная константа

В математике полиномы Костанта , названные в честь Бертрама Костанта , обеспечивают явный базис кольца многочленов над кольцом многочленов, инвариантных относительно конечной группы отражений корневой системы .

Фон

Если группа отражений W соответствует группе Вейля компактной полупростой группы K с максимальным тором T , то полиномы Костанта описывают структуру когомологий де Рама обобщенного многообразия флагов K / T , также изоморфного G / B , где G — комплексификация группы K , а B — соответствующая борелевская подгруппа . Арманд Борель показал, что его кольцо когомологий изоморфно фактору кольца многочленов по идеалу, порожденному инвариантными однородными многочленами положительной степени. Это кольцо уже рассматривалось Клодом Шевалле при установлении основ когомологий компактных групп Ли и их однородных пространств вместе с Андре Вейлем , Жаном-Луи Кошулем и Анри Картаном ; существование такого базиса было использовано Шевалле для доказательства того, что кольцо инвариантов само по себе является кольцом полиномов. Подробное описание полиномов Костанта было дано Бернштейном, Гельфандом и Гельфандом (1973) и независимо Демазюром (1973) как инструмент для понимания исчисления Шуберта. многообразия флагов. Полиномы Костанта связаны с полиномами Шуберта, определенными комбинаторно Ласко и Шютценбергером (1982) для классического многообразия флагов, когда G = SL(n, C ). Их структура определяется разностными операторами, связанными с соответствующей корневой системой .

Стейнберг (1975) определил аналогичный базис, когда кольцо многочленов заменяется кольцом экспонент весов решетки . Если K односвязно , то это кольцо можно отождествить с кольцом представлений R ( T ), а W -инвариантное подкольцо с R ( K ). Базис Стейнберга снова был мотивирован проблемой топологии однородных пространств; базис возникает при описании Т - эквивариантной К- теории К / Т .

Определение

Пусть Φ — система корней в конечномерном действительном скалярном пространстве V с группой Вейля W . Пусть Φ ⁺ — набор положительных корней, а ∆ — соответствующий набор простых корней. Если α — корень, то s _α обозначает соответствующий оператор отражения. Корни рассматриваются как линейные полиномы от V с использованием скалярного произведения α( v ) = (α, v ). Выбор ∆ приводит к появлению порядка Брюа на группе Вейля. определяется способами записи элементов минимально как продуктов простого корневого отражения. Минимальная длина элемента s обозначается $\ell (s)$. Выберите элемент v в V такой, что α ( v ) > 0 для каждого положительного корня.

Если α _i — простой корень с оператором отражения s _i

$s_{i}x=x-2{(x,\alpha _{i}) \over (\alpha _{i},\alpha _{i})}\alpha _{i},$

тогда соответствующий оператор разделенной разности определяется выражением

$\delta _{i}f={f-f\circ s_{i} \over \alpha _{i}}.$

Если $\ell (s)=m$ и s имеет пониженную экспрессию

$s=s_{i_{1}}\cdots s_{i_{m}},$

затем

$\delta _{s}=\delta _{i_{1}}\cdots \delta _{i_{m}}$

не зависит от приведенного выражения. Более того

$\delta _{s}\delta _{t}=\delta _{st}$

если $\ell (st)=\ell (s)+\ell (t)$ и 0 в противном случае.

Если w ₀ — самый длинный элемент W Φ , элемент наибольшей длины или, что то же самое, элемент, отправляющий ⁺ тогда −Φ ⁺ , затем

$\delta _{w_{0}}f={\sum _{s\in W}\det s\,f\circ s \over \prod _{\alpha >0}\alpha }.$

В более общем плане

$\delta _{s}f={\det s\,f\circ s+\sum _{t<s}a_{s,t}\,f\circ t \over \prod _{\alpha >0,\,s^{-1}\alpha <0}\alpha }$

для некоторых констант a _{s , t} .

Набор

$d=|W|^{-1}\prod _{\alpha >0}\alpha .$

и

$P_{s}=\delta _{s^{-1}w_{0}}d.$

Тогда P _s — однородный полином степени $\ell (s)$.

Эти полиномы являются полиномами Костанта .

Характеристики

Теорема . Полиномы Костанта образуют свободный базис кольца многочленов над W-инвариантными многочленами.

На самом деле матрица

$N_{st}=\delta _{s}(P_{t})$

унитреугольна для любого полного порядка такого, что s ≥ t влечет за собой $\ell (s)\geq \ell (t)$.

Следовательно

$\det N=1.$

Таким образом, если

$f=\sum _{s}a_{s}P_{s}$

с инвариантом _s относительно W , то

$\delta _{t}(f)=\sum _{s}\delta _{t}(P_{s})a_{s}.$

Таким образом

$a_{s}=\sum _{t}M_{s,t}\delta _{t}(f),$

где

$M=N^{-1}$

еще одна унитреугольная матрица с полиномиальными элементами. Можно непосредственно проверить, что s _{инвариантен} относительно W. a

Фактически δ _i удовлетворяет дифференцирования свойству

$\delta _{i}(fg)=\delta _{i}(f)g+(f\circ s_{i})\delta _{i}(g).$

Следовательно

$\delta _{i}\delta _{s}(f)=\sum _{t}\delta _{i}(\delta _{s}(P_{t}))a_{t})=\sum _{t}(\delta _{s}(P_{t})\circ s_{i})\delta _{i}(a_{t})+\sum _{t}\delta _{i}\delta _{s}(P_{t})a_{t}.$

С

$\delta _{i}\delta _{s}=\delta _{s_{i}s}$

или 0, то отсюда следует, что

$\sum _{t}\delta _{s}(P_{t})\,\delta _{i}(a_{t})\circ s_{i}=0$

так что в силу обратимости N

$\delta _{i}(a_{t})=0$

для всех i , т.е. t _{инвариантен} относительно W. a

Базис Стейнберга

Как и выше, пусть Φ — система корней в вещественном пространстве V и Φ ⁺ подмножество положительных корней. Из этих данных мы получаем подмножество ∆ = { α ₁ , α ₂ , …, α _n } простых корней, кокорней

$\alpha _{i}^{\vee }=2(\alpha _{i},\alpha _{i})^{-1}\alpha _{i},$

и фундаментальные веса λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n как двойственный базис корней.

Для каждого элемента s из W пусть ∆ _s — подмножество ∆, состоящее из простых корней, удовлетворяющих s ⁻¹ α < 0, и положим

$\lambda _{s}=s^{-1}\sum _{\alpha _{i}\in \Delta _{s}}\lambda _{i},$

где сумма вычисляется в решетке весов P .

Множество линейных комбинаций экспонент e ^м с целыми коэффициентами для µ в P становится кольцом над Z , изоморфным групповой алгебре P или, что то же самое, кольцу представлений R ( T ) группы T , где T — максимальный тор в K , односвязной компактной полупростой группе Ли с системой корней Φ. Если W — группа Вейля группы Φ, то кольцо представлений R ( K ) группы K можно отождествить с R ( T ) ^В .

Теорема Штейнберга . Экспоненты λ _s ( s в W ) образуют свободный базис кольца экспонент над подкольцом W - инвариантных экспонент.

Пусть ρ обозначает полусумму положительных корней, а A обозначает оператор антисимметризации

$A(\psi )=\sum _{s\in W}(-1)^{\ell (s)}s\cdot \psi .$

Положительные корни β с положительными корнями s β можно рассматривать как набор положительных корней для системы корней в подпространстве V ; корни – это те, которые ортогональны s.λ _s . Соответствующая группа Вейля равна стабилизатору λ _s в W . Он порождается простыми отражениями s _j, для которых s α _j является положительным корнем.

Пусть M и N — матрицы

$M_{ts}=t(\lambda _{s}),\,\,N_{st}=(-1)^{\ell (t)}\cdot t(\psi _{s}),$

где ψ _s задается весом s ⁻¹ ρ - λ _с . Тогда матрица

$B_{s,s'}=\Omega ^{-1}(NM)_{s,s'}={A(\psi _{s}\lambda _{s'}) \over \Omega }$

является треугольным относительно любого полного порядка на W такого, что из s ≥ t следует $\ell (s)\geq \ell (t)$. Стейнберг доказал, что элементы B являются W -инвариантными экспоненциальными суммами. Более того, все его диагональные элементы равны 1, поэтому он имеет определитель 1. Следовательно, его обратный C имеет тот же вид. Определять

$\varphi _{s}=\sum C_{s,t}\psi _{t}.$

Если х — произвольная показательная сумма, то отсюда следует, что

$\chi =\sum _{s\in W}a_{s}\lambda _{s}$

с a _s -инвариантная экспоненциальная W сумма

$a_{s}={A(\varphi _{s}\chi ) \over \Omega }.$

Действительно, это единственное решение системы уравнений

$t\chi =\sum _{s\in W}t(\lambda _{s})\,\,a_{s}=\sum _{s}M_{t,s}a_{s}.$

Ссылки

• Бернштейн, Индиана; Гельфанд, ИМ ; Гельфанд С.И. (1973), "Клетки Шуберта и когомологии пространств G/P", Изв. матем. Опросы , 28 (3): 1–26, doi : 10.1070/RM1973v028n03ABEH001557 , S2CID   250748691
• Билли, Сара К. (1999), «Многочлены Костанта и кольцо когомологий для G/B», Duke Math. J. , 96 : 205–224, CiteSeerX   10.1.1.11.8630 , doi : 10.1215/S0012-7094-99-09606-0 , S2CID   16184223
• Бурбаки, Николя (1981), Группы и алгебры Ли, главы 4, 5 и 6 , Массон, ISBN  978-2-225-76076-1
• Картан, Анри (1950), «Представления дифференциальной алгебры; применение к группам Ли и к многообразиям, в которых действует группа Ли», Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Брюссель : 15–27
• Картан, Анри (1950), «Трансгрессия в группе Ли и в главном расслоенном пространстве», Colloque de Topologie (Espaces Fibrés), Брюссель : 57–71.
• Шевалле, Клод (1955), «Инварианты конечных групп, порожденные отражениями», Amer. Дж. Математика. , 77 (4): 778–782, номер документа : 10.2307/2372597 , JSTOR   2372597.
• Демазюр, Мишель (1973), «Целочисленные симметричные инварианты Вейля и торсионных групп», Invent. Математика. , 21 (4): 287–301, Bibcode : 1973InMat..21..287D , doi : 10.1007/BF01418790 , S2CID   123253975
• Греуб, Вернер; Гальперин, Стивен; Ванстон, Рэй (1976), Связи, кривизна и когомологии. Том III: Когомологии главных расслоений и однородных пространств , Чистая и прикладная математика, вып. 47-III, Академик Пресс
• Хамфрис, Джеймс Э. (1994), Введение в алгебры Ли и теорию представлений (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-90053-7
• Костант, Бертрам (1963), «Когомологии алгебры Ли и обобщенные клетки Шуберта», Ann. математики. , 77 (1): 72–144, номер документа : 10.2307/1970202 , JSTOR   1970202.
• Костант, Бертрам (1963), «Представления групп Ли на кольцах многочленов» , Amer. Дж. Математика. , 85 (3): 327–404, номер документа : 10.2307/2373130 , JSTOR   2373130.
• Костант, Бертрам ; Кумар, Шраван (1986), «Ниль-кольцо Гекке и когомологии G/P для группы Каца – Муди G.», Proc. Натл. акад. наук. США , 83 (6): 1543–1545, Bibcode : 1986PNAS...83.1543K , doi : 10.1073/pnas.83.6.1543 , PMC   323118 , PMID   16593661
• Ласку, Ален ; Шютценбергер, Марсель-Поль (1982), «Полиномы Шуберта», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 294 : 447–450
• Маклеод, Джон (1979), Формула Куннета в эквивариантной K-теории , Конспект лекций по математике, том. 741, Спрингер, стр. 316–333.
• Стейнберг, Роберт (1975), «К теореме Питти», Топология , 14 (2): 173–177, doi : 10.1016/0040-9383(75)90025-7