Группа отражения

В теории групп и геометрии группа отражений — это дискретная группа , которая порождается набором отражений конечномерного евклидова пространства . Группа симметрии правильного многогранника или замощения евклидова пространства конгруэнтными копиями правильного многогранника обязательно является группой отражения. Группы отражения также включают группы Вейля и кристаллографические группы Кокстера . Хотя ортогональная группа порождается отражениями (по теореме Картана-Дьедонне ), она является непрерывной группой (действительно, группой Ли ), а не дискретной группой, и обычно рассматривается отдельно.

Определение

Пусть E — конечномерное евклидово пространство . Конечная группа отражений — это подгруппа общей линейной группы E , которая порождается набором ортогональных отражений через гиперплоскости, проходящие через начало координат. Группа аффинных отражений — это дискретная подгруппа аффинной группы E , которая порождается набором аффинных отражений E . (без требования, чтобы гиперплоскости отражения проходили через начало координат)

Соответствующие понятия могут быть определены над другими полями , что приводит к комплексным группам отражений и аналогам групп отражений над конечным полем .

Примеры

Самолет

В двух измерениях конечные группы отражений представляют собой группы диэдра , которые генерируются отражением в двух линиях, образующих угол $2\pi /n$ и соответствуют диаграмме Кокстера $I_{2}(n).$ И наоборот, циклические точечные группы в двух измерениях не порождены отражениями и не содержат их — они являются подгруппами индекса 2 группы диэдра.

Бесконечные группы отражений включают группы фризов. $*\infty \infty$ и $*22\infty$ и группы обоев $**$, $*2222$, $*333$, $*442$ и $*632$. Если угол между двумя прямыми иррационально кратен числу пи, группа, порожденная отражениями в этих прямых, бесконечна и недискретна, следовательно, она не является группой отражений.

Космос

Конечные группы отражения — это точечные группы C _nv , D _nh и группы симметрии пяти Платоновых тел . Двойственные правильные многогранники (куб и октаэдр, а также додекаэдр и икосаэдр) порождают изоморфные группы симметрии. Классификация конечных групп отражений R ³ является экземпляром классификации ADE .

Связь с группами Кокстера

Группа отражений W допускает представление особого вида, открытое и изученное Х. С. М. Коксетером . Отражения в гранях фиксированной фундаментальной «камеры» являются генераторами r _i W порядка 2. Все соотношения между ними формально следуют из соотношений

$(r_{i}r_{j})^{c_{ij}}=1,$

выражающее тот факт, что произведение отражений r _i и r _j в двух гиперплоскостях Hi _{встречающихся} и H _j, под углом $\pi /c_{ij}$ это поворот на угол $2\pi /c_{ij}$ фиксируя подпространство H _i ∩ H _j коразмерности 2. Таким образом, если рассматривать ее как абстрактную группу, каждая группа отражений является группой Кокстера .

Конечные поля

При работе с конечными полями «отражение» определяется как карта, фиксирующая гиперплоскость. Геометрически это равнозначно включению сдвигов в гиперплоскость. Группы отражений над конечными полями характеристики, отличной от 2, были классифицированы Залесским и Сережкиным (1981) .

Обобщения

дискретные группы изометрий более общих римановых многообразий, Также рассматривались порожденных отражениями. Самый важный класс возникает из римановых симметрических пространств ранга 1: n-сфера S ^н , соответствующее конечным группам отражений, евклидово пространство R ^н , соответствующий группы аффинных отражений и гиперболическое пространство H ^н , где соответствующие группы называются гиперболическими группами отражений . В двух измерениях группы треугольников включают группы отражений всех трех видов.

См. также

• Расположение гиперплоскости
• Теорема Шевалле – Шепарда – Тодда
• Группы отражения родственны калейдоскопам .
• Параболическая подгруппа группы отражений

Ссылки

Библиография

• Коксетер, HSM (1934), «Дискретные группы, порожденные отражениями», Ann. математики. , 35 (3): 588–621, CiteSeerX   10.1.1.128.471 , doi : 10.2307/1968753 , JSTOR   1968753
• Коксетер, HSM (1935), «Полное перечисление конечных групп вида $r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1$", J. London Math. Soc. , 10 : 21–25, doi : 10.1112/jlms/s1-10.37.21
• Гудман, Роу (апрель 2004 г.), «Математика зеркал и калейдоскопов» (PDF) , American Mathematical Monthly , 111 (4): 281–298, CiteSeerX   10.1.1.127.6227 , doi : 10.2307/4145238 , JSTOR   4145238
• Залесский, Александр Евгеньевич; Сережкин В.Н. (1981), "Конечные линейные группы, порожденные отражениями", Матем. СССР Изв. , 17 (3): 477–503, Бибкод : 1981ИзМат..17..477Z , doi : 10.1070/IM1981v017n03ABEH001369

Учебники

• Боровик, Александр ; Боровик, Анна (2010), Зеркала и отражения: геометрия конечных групп отражений , Нью-Йорк: Springer , ISBN  9780387790664
• Гроув, ЖК; Бенсон, Коннектикут (1985), Группы конечных отражений , Тексты для выпускников по математике, том. 99 (2-е изд.), Springer-Verlag, Нью-Йорк, номер номера : 10.1007/978-1-4757-1869-0 , ISBN.  0-387-96082-1 , МР   0777684
• Хамфрис, Джеймс Э. (1992), Группы отражения и группы Кокстера , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-43613-7

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с группами Reflection, на Викискладе?
• «Группа отражения» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]