Функтор Шура

В математике в области теории представлений , функторы Шура (названные в честь Иссаи Шура ) — это определенные функторы из категории модулей , особенно над фиксированным коммутативным кольцом самому себе. Они обобщают конструкции внешних степеней и симметричных степеней векторного пространства . Функторы Шура индексируются диаграммами Юнга таким образом, что горизонтальная диаграмма с n ячейками соответствует n- му симметричному степенному функтору, а вертикальная диаграмма с n ячейками соответствует n -му внешнему степенному функтору. векторное пространство V является представлением группы G Если , то $\mathbb {S} ^{\lambda }V$ также имеет естественное действие G для любого функтора Шура $\mathbb {S} ^{\lambda }(-)$.

Определение

Функторы Шура индексируются разбиениями и описываются следующим образом. Пусть R — коммутативное кольцо, E — R -модуль.и λ — разбиение натурального числа n . Пусть T — таблица Юнга формы λ , таким образом индексируя факторы n -кратного произведения E × E × ... × E с ящиками T. прямого Рассмотрим те отображения R -модулей $\varphi :E^{\times n}\to M$ удовлетворяющий следующим условиям

1. $\varphi$ является многолинейным,
2. $\varphi$ чередуется в записях, индексированных каждым столбцом T ,
3. $\varphi$ удовлетворяет условию обмена, утверждающему, что если $I\subset \{1,2,\dots ,n\}$ являются числами из столбца i таблицы T, тогда

$\varphi (x)=\sum _{x'}\varphi (x')$

где сумма вычисляется по n -кортежам x ′, полученным из x путем замены элементов, индексированных I, на любые $|I|$ элементы, индексированные числами в столбце $i-1$ (чтобы).

Универсальный R -модуль $\mathbb {S} ^{\lambda }E$ который простирается $\varphi$ к отображению R -модулей ${\tilde {\varphi }}:\mathbb {S} ^{\lambda }E\to M$ является образом E под функтором Шура с индексом λ .

Для примера условия (3), поставленного на $\varphi$предположим, что λ — разбиение $(2,2,1)$ и таблица T пронумерован так, что его записи при чтении имеют номера 1, 2, 3, 4, 5.сверху вниз (слева направо). принимая $I=\{4,5\}$ (т.е.числа во втором столбце T ) имеем

$\varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{4},x_{5},x_{3},x_{1},x_{2})+\varphi (x_{4},x_{2},x_{5},x_{1},x_{3})+\varphi (x_{1},x_{4},x_{5},x_{2},x_{3}),$

в то время как если $I=\{5\}$ затем

$\varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{5},x_{2},x_{3},x_{4},x_{1})+\varphi (x_{1},x_{5},x_{3},x_{4},x_{2})+\varphi (x_{1},x_{2},x_{5},x_{4},x_{3}).$

Примеры

Зафиксируем векторное пространство V над полем характеристики нулевой . Мы идентифицируем разбиения и соответствующие диаграммы Юнга. Следующие описания имеют место:

• Для разбиения λ = ( n ) функтор Шура S ^л ( V ) = Сим ^н ( V ).
• Для разбиения λ = (1, ..., 1) (повторяется n раз) функтор Шура S ^л ( В ) знак равно Л ^н ( V ).
• Для разбиения λ = (2, 1) функтор Шура S ^л ( V ) — коядро отображения коумножения внешних степеней Λ ³ ( В ) → Л ² ( V ) ⊗ V .
• Для разбиения λ = (2, 2) функтор Шура S ^л ( V ) является фактором Λ ² ( В ) ⊗ Л ² ( V ) по изображениям двух карт. Одним из них является композиция Λ ³ ( V ) ⊗ V → Λ ² ( V ) ⊗ V ⊗ V → Λ ² ( В ) ⊗ Л ² ( V ), где первая карта — это коумножение по первой координате. Другое отображение — коумножение Λ ⁴ ( В ) → Л ² ( В ) ⊗ Л ² ( V ).
• Для разбиения λ = ( n , 1, ..., 1) с 1 повторением m раз функтор Шура S ^л ( V ) является фактором Λ ^н ( V ) ⊗ Сим ^м ( V ) образом композиции коумножения во внешних степенях и умножения в симметричных степенях:

  $\Lambda ^{n+1}(V)\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V)~\xrightarrow {\Delta \otimes \mathrm {id} } ~\Lambda ^{n}(V)\otimes V\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V)~\xrightarrow {\mathrm {id} \otimes \cdot } ~\Lambda ^{n}(V)\otimes \mathrm {Sym} ^{m}(V)$

Приложения

Пусть V — комплексное векторное пространство размерности k . Это тавтологическое представление своей группы автоморфизмов GL( V ). Если λ — диаграмма, в каждой строке не более k ячеек, то S ^л ( V ) — неприводимое GL( V )-представление старшего веса λ . Фактически, любое рациональное представление GL( V ) изоморфно прямой сумме представлений вида S ^л ( V ) ⊗ det( V ) ^{⊗ m} , где λ — диаграмма Юнга, каждая строка которой строго короче k , а m — любое (возможно, отрицательное) целое число.

В этом контексте двойственность Шура-Вейля утверждает, что как GL( V )-модуль

$V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell (\lambda )\leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)^{\oplus f^{\lambda }}$

где $f^{\lambda }$ — количество стандартных молодых таблиц формы λ . В более общем смысле мы имеем разложение тензорного произведения как $\mathrm {GL} (V)\times {\mathfrak {S}}_{n}$-бимодуль

$V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell (\lambda )\leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)\otimes \operatorname {Specht} (\lambda )$

где $\operatorname {Specht} (\lambda )$ — модуль Шпехта с индексом λ . Функторы Шура также можно использовать для описания координатного кольца некоторых разновидностей флагов.

Плетизм

Основная статья: Плетизм

Для двух диаграмм Юнга λ и µ рассмотрим композицию соответствующих функторов Шура S ^л (С ^м (-)). называется плетизмом λ Эта композиция и µ . Из общей теории известно что, по крайней мере для векторных пространств над характеристическим нулевым полем, плетизм изоморфен прямой сумме функторов Шура. Проблема определения того, какие диаграммы Юнга встречаются в этом описании и как вычислить их кратности, остается открытой, за исключением некоторых частных случаев, таких как Sym ^м (Сим ² ( V )).

См. также

• Молодой симметризатор
• Полином Шура
• Правило Литтлвуда-Ричардсона
• Полиномиальный функтор

Ссылки

• Дж. Таубер, Два новых функтора от модулей к алгебрам, J. Algebra 47 (1977), 80–104. doi:10.1016/0021-8693(77)90211-3
• У. Фултон, Таблицы Янга с приложениями к теории представлений и геометрии . Издательство Кембриджского университета, 1997, ISBN   0-521-56724-6

Внешние ссылки

• Функторы Шура | Кафе n-Category