Плетизм

В алгебре плетизм — это операция над симметричными функциями, введенная Дадли Э. Литтлвудом . ^[1] который обозначил его { λ } ⊗ { µ }. Слово «плетизм» для этой операции (от греческого слова πληθυσμός, означающего «умножение») было введено позже Литтлвудом ( 1950 , с. 289, 1950b , с. 274), который сказал, что название было предложено М. Л. Кларком.

Если симметричные функции отождествляются с операциями в лямбда-кольцах , то плетизм соответствует композиции операций.

В теории представлений

Пусть V — векторное пространство над комплексными числами , рассматриваемое как представление общей линейной группы GL( V ). Каждой диаграмме Юнга λ соответствует функтор Шура L _λ (-) на категории GL( V )-представлений. Учитывая две диаграммы Юнга λ и µ, рассмотрим разложение L _λ (L _µ ( V )) в прямую сумму неприводимых представлений группы. Из теории представлений полной линейной группы мы знаем, что каждое слагаемое изоморфно $L_{\nu }(V)$ для диаграммы Юнга $\nu$ . Итак, для некоторых неотрицательных кратностей $a_{\lambda ,\mu ,\nu }$ существует изоморфизм

L_{\lambda }(L_{\mu }(V))=\bigoplus _{\nu }L_{\nu }(V)^{\oplus a_{\lambda ,\mu ,\nu }}.

Проблема (внешнего) плетизма состоит в том, чтобы найти выражение для кратностей $a_{\lambda ,\mu ,\nu }$ . ^[2]

Эта формулировка тесно связана с классическим вопросом. Характер ( GL( V )-представления L _λ V V ) представляет собой симметричную функцию от переменных dim( ) , известную как полином Шура s _λ, соответствующий диаграмме Юнга λ. Полиномы Шура образуют базис в пространстве симметрических функций. Следовательно, чтобы понять плетизм двух симметричных функций, было бы достаточно знать их выражения в этом базисе и выражение для плетизма двух произвольных полиномов Шура { s _λ }⊗{ s _μ } . Вторая часть данных — это именно характер L _λ ( L _µ ( V )).

Ссылки

^ Литтлвуд ( 1936 , стр. 52, 1944 , стр. 329)
^ Вейман, Ежи (2003). Когомологии векторных расслоений и сизигий . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511546556 . ISBN 9780511546556 .

Литтлвуд, DE (1936), «Полиномиальные сопутствующие факторы и инвариантные матрицы», J. London Math. Соц. , 11 (1): 49–55, doi : 10.1112/jlms/s1-11.1.49 , Збл 0013.14602
Литтлвуд, Делавэр (1944), «Теория инвариантов, тензоры и групповые характеры», Philosophical Transactions of the Royal Society A , 239 (807): 305–365, doi : 10.1098/rsta.1944.0001 , JSTOR 91389 , MR 0010594
Литтлвуд, Дадли Э. (1950), Теория групповых характеров и матричные представления групп , AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд, ISBN 978-0-8218-4067-2 , МР 0002127
Литтлвуд, Делавэр (1950b), Университетская алгебра , Мельбурн, Лондон, Торонто: William Heinemann, Ltd., MR 0045079

[1] Литтлвуд ( 1936 , стр. 52, 1944 , стр. 329)

[weyman-2] Вейман, Ежи (2003). Когомологии векторных расслоений и сизигий . Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511546556 . ISBN 9780511546556 .

[1]

[2]